2ème Année Bac BIOF Mathematiques

Probabilités

I. Expérience aléatoire – Univers – Événements

1. Expérience aléatoire

Définition : Une expérience est dite aléatoire si elle vérifie les conditions suivantes :
  • Elle conduit à des résultats possibles que l'on peut nommer.
  • On ne peut pas prévoir avec certitude le résultat avant de réaliser l'expérience.
Exemples :
  • Lancer un dé à 6 faces et observer le numéro de la face supérieure.
  • Lancer une pièce de monnaie deux fois successives.
Contre-exemple : Lâcher un objet d'une hauteur donnée (le résultat est certain : il tombe), ce n'est pas une expérience aléatoire.

2. Univers et Éventualités

  • Éventualité (ou événement élémentaire) : Chaque résultat possible de l'expérience est appelé une éventualité, notée généralement $ \omega $.
  • Univers (ou ensemble fondamental) : L'ensemble de toutes les éventualités possibles est appelé l'univers, noté $ \Omega $.
Exemples :
  • Lancer d'un dé : $ \Omega = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} $. Une éventualité est $ \omega = 3 $.
  • Lancer d'une pièce 2 fois : $ \Omega = \{ PP, PF, FP, FF \} $ (P=Pile, F=Face).

3. Événements

Définition : Tout sous-ensemble $ A $ de l'univers $ \Omega $ est appelé un événement.
  • Événement certain : C'est l'univers $ \Omega $ lui-même.
  • Événement impossible : C'est l'ensemble vide $ \emptyset $.
  • Événement élémentaire : C'est un ensemble contenant une seule éventualité $ \{ \omega \} $.
  • Événements incompatibles : Deux événements $ A $ et $ B $ sont incompatibles si leur intersection est vide : $ A \cap B = \emptyset $.
  • Événement contraire : L'événement contraire de $ A $, noté $ \bar{A} $, est l'ensemble des éventualités de $ \Omega $ qui n'appartiennent pas à $ A $. On a $ \bar{A} = \Omega \setminus A $.
Propriété : $ card(A) + card(\bar{A}) = card(\Omega) $.

4. Opérations sur les événements

Soient $ A $ et $ B $ deux événements de $ \Omega $ :
  • Intersection ($ A \cap B $) : L'événement réalisé si $ A $ et $ B $ sont réalisés simultanément.
  • Réunion ($ A \cup B $) : L'événement réalisé si $ A $ ou $ B $ est réalisé.
  • Partition : Des événements $ A_1, A_2, ..., A_n $ forment une partition de $ \Omega $ s'ils sont deux à deux incompatibles et si leur réunion est $ \Omega $.

II. Probabilité sur un univers fini

1. Définition fréquentiste

Si l'on répète une expérience aléatoire $ N $ fois dans les mêmes conditions, et qu'un événement élémentaire $ \{ \omega_i \} $ se réalise $ n_i $ fois, la probabilité de cet événement est estimée par la fréquence : $$ P(\{ \omega_i \}) = \frac{n_i}{N} $$ La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1 : $$ \sum_{i=1}^{n} P(\{ \omega_i \}) = 1 $$ La probabilité d'un événement $ A $ est la somme des probabilités des événements élémentaires qui le constituent.

2. Propriétés des probabilités

Soient $ A $ et $ B $ deux événements d'un univers $ \Omega $ :
  • $ 0 \leq P(A) \leq 1 $
  • $ P(\Omega) = 1 $
  • $ P(\emptyset) = 0 $
  • $ P(\bar{A}) = 1 - P(A) $
  • Formule de Poincaré : $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $
  • Si $ A $ et $ B $ sont incompatibles ($ A \cap B = \emptyset $), alors $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) $.

3. Hypothèse d'équiprobabilité

Définition : On dit qu'il y a équiprobabilité lorsque tous les événements élémentaires ont la même chance de se réaliser (ex: dé équilibré, pièce non truquée, tirage au hasard de boules indiscernables).
Dans ce cas, la probabilité d'un événement $ A $ est donnée par : $$ P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} = \frac{card(A)}{card(\Omega)} $$

4. Exemples d'application (Dénombrement et Probabilité)

Contexte : Un examen oral comporte 12 questions (5 Géométrie, 4 Algèbre, 3 Analyse). Un étudiant tire 3 questions.
Cas 1 : Tirage simultané (Combinaison)
  • Nombre de cas possibles : $ card(\Omega) = C_{12}^3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220 $.
  • Événement $ A $ : "Les 3 questions sont en géométrie".
    $ card(A) = C_5^3 = 10 $.
    $ P(A) = \frac{10}{220} = \frac{1}{22} $.
  • Événement $ B $ : "Une question de chaque matière".
    $ card(B) = C_5^1 \times C_4^1 \times C_3^1 = 5 \times 4 \times 3 = 60 $.
    $ P(B) = \frac{60}{220} = \frac{3}{11} $.
  • Événement $ C $ : "Au moins une question en géométrie".
    On utilise l'événement contraire $ \bar{C} $ : "Aucune question en géométrie" (toutes en Algèbre ou Analyse, soit 7 questions).
    $ card(\bar{C}) = C_7^3 = 35 $.
    $ P(\bar{C}) = \frac{35}{220} = \frac{7}{44} $.
    $ P(C) = 1 - P(\bar{C}) = 1 - \frac{7}{44} = \frac{37}{44} $.
Cas 2 : Tirage successif sans remise (Arrangement)
  • Nombre de cas possibles : $ card(\Omega) = A_{12}^3 = 12 \times 11 \times 10 = 1320 $.
  • Événement $ A $ : "Les 3 questions sont en géométrie".
    $ card(A) = A_5^3 = 5 \times 4 \times 3 = 60 $.
    $ P(A) = \frac{60}{1320} = \frac{1}{22} $.
Cas 3 : Tirage successif avec remise (Arrangement avec répétition)
  • Nombre de cas possibles : $ card(\Omega) = 12^3 = 1728 $.
  • Événement $ A $ : "Les 3 questions sont en géométrie".
    $ card(A) = 5^3 = 125 $.
    $ P(A) = \left(\frac{5}{12}\right)^3 $.

III. Probabilité conditionnelle et Indépendance

1. Probabilité conditionnelle

Définition : Soient $ A $ et $ B $ deux événements avec $ P(A) \neq 0 $. La probabilité de $ B $ sachant que $ A $ est réalisé est notée $ P_A(B) $ (ou $ P(B|A) $) et est définie par : $$ P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $$

2. Événements indépendants

Définition : Deux événements $ A $ et $ B $ sont indépendants si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. Mathématiquement : $$ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $$ Si $ P(A) \neq 0 $ et $ P(B) \neq 0 $, cela équivaut à $ P_A(B) = P(B) $ ou $ P_B(A) = P(A) $.

3. Formule des probabilités composées

$$ P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B) $$

4. Exemple d'application

Énoncé : Une urne contient 9 jetons indiscernables au toucher :
  • 3 Blancs (numérotés 2, 2, 1)
  • 2 Jaunes (numérotés 1, 1)
  • 4 Noirs (numérotés 1, 1, 1, 2)
On tire simultanément 3 jetons.
Soit $ A $ : "Les jetons ont le même numéro".
Soit $ B $ : "Les jetons sont de couleurs différentes".
$ card(\Omega) = C_9^3 = 84 $.
  • Calcul de $ P(A) $ :
    Même numéro 1 (il y a 6 jetons numérotés 1) : $ C_6^3 = 20 $.
    Même numéro 2 (il y a 3 jetons numérotés 2) : $ C_3^3 = 1 $.
    $ card(A) = 20 + 1 = 21 $.
    $ P(A) = \frac{21}{84} = \frac{1}{4} $.
  • Calcul de $ P(B) $ :
    1 Blanc, 1 Jaune, 1 Noir : $ C_3^1 \times C_2^1 \times C_4^1 = 3 \times 2 \times 4 = 24 $.
    $ P(B) = \frac{24}{84} = \frac{2}{7} $.
  • Calcul de $ P(A \cap B) $ :
    Couleurs différentes ET même numéro. Seul le numéro 1 est possible (car il n'y a pas 3 jetons numérotés 2 de couleurs différentes).
    1 Blanc (n°1), 1 Jaune (n°1), 1 Noir (n°1).
    Blancs n°1 : 1 choix. Jaunes n°1 : 2 choix. Noirs n°1 : 3 choix.
    $ card(A \cap B) = 1 \times 2 \times 3 = 6 $.
    $ P(A \cap B) = \frac{6}{84} = \frac{1}{14} $.
  • Indépendance :
    $ P(A) \times P(B) = \frac{1}{4} \times \frac{2}{7} = \frac{1}{14} $.
    Comme $ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) $, les événements $ A $ et $ B $ sont indépendants.
  • Probabilité conditionnelle :
    Probabilité que les jetons aient le même numéro sachant qu'ils sont de couleurs différentes : $$ P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/14}{2/7} = \frac{1}{14} \times \frac{7}{2} = \frac{1}{4} $$

IV. Probabilité totale

1. Théorème

Soit $ A_1, A_2, ..., A_n $ une partition de l'univers $ \Omega $ (événements incompatibles deux à deux et dont la réunion est $ \Omega $). Pour tout événement $ B $ : $$ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(B \cap A_i) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) \times P_{A_i}(B) $$ $$ P(B) = P(A_1)P_{A_1}(B) + P(A_2)P_{A_2}(B) + ... + P(A_n)P_{A_n}(B) $$

2. Exemple (Arbre de probabilité)

Deux urnes $ U_1 $ et $ U_2 $.
  • $ U_1 $ : 5 Rouges, 3 Verts (Total 8).
  • $ U_2 $ : 4 Rouges, 7 Verts (Total 11).
On choisit une urne au hasard ($ P(U_1) = P(U_2) = 1/2 $), puis on tire un pion. Soit $ V $ : "Le pion est Vert". $$ P(V) = P(U_1) \times P_{U_1}(V) + P(U_2) \times P_{U_2}(V) $$ $$ P(V) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{8} + \frac{1}{2} \times \frac{7}{11} = \frac{3}{16} + \frac{7}{22} = \frac{33 + 56}{176} = \frac{89}{176} $$ Note : Le document source indiquait 49/176, mais le calcul correct avec les données fournies (3/8 et 7/11) donne 89/176. Si l'urne 2 avait 2 verts sur 11, ce serait cohérent avec le source, mais je corrige selon les données textuelles standards ou je signale la cohérence. Ici, je maintiens la logique mathématique correcte.
Probabilité de l'urne sachant la couleur (Formule de Bayes) : $$ P_V(U_1) = \frac{P(U_1 \cap V)}{P(V)} = \frac{P(U_1) \times P_{U_1}(V)}{P(V)} $$

V. Expérience répétée (Loi Binomiale)

1. Schéma de Bernoulli

On répète $ n $ fois une expérience aléatoire dans les mêmes conditions (indépendance). Soit $ A $ un événement de probabilité $ p = P(A) $. Soit $ X $ la variable aléatoire comptant le nombre de réalisations de $ A $. La probabilité que $ A $ se réalise exactement $ k $ fois est : $$ P(X = k) = C_n^k \times p^k \times (1-p)^{n-k} $$ avec $ k \in \{ 0, 1, ..., n \} $.

2. Exemple

On tire 2 boules dans une urne (6 boules numérotées 1 à 6). $ A $ : "Les deux boules sont paires". $ card(\Omega) = C_6^2 = 15 $. Cas favorables (2,4,6) : $ C_3^2 = 3 $. $ p = P(A) = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} $.
On répète l'expérience 4 fois ($ n=4 $). Probabilité que $ A $ se réalise 3 fois ($ k=3 $) : $$ P(X=3) = C_4^3 \times \left(\frac{1}{5}\right)^3 \times \left(\frac{4}{5}\right)^1 = 4 \times \frac{1}{125} \times \frac{4}{5} = \frac{16}{625} $$

VI. Variables aléatoires

1. Définition

Une variable aléatoire $ X $ est une fonction qui associe un nombre réel $ x_i $ à chaque éventualité $ \omega $ de l'univers $ \Omega $. L'ensemble des valeurs prises par $ X $ est noté $ X(\Omega) = \{ x_1, x_2, ..., x_n \} $.
La loi de probabilité de $ X $ est l'ensemble des couples $ (x_i, P(X=x_i)) $.
Propriété : $ \sum P(X=x_i) = 1 $.

2. Caractéristiques numériques

  • Espérance mathématique ($ E(X) $) : Moyenne pondérée des valeurs. $$ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \times P(X=x_i) $$
  • Variance ($ V(X) $) : Mesure de la dispersion. $$ V(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \times P(X=x_i) - [E(X)]^2 $$ Formule de Koenig : $ V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 $.
  • Écart-type ($ \sigma(X) $) : $$ \sigma(X) = \sqrt{V(X)} $$

3. Exemple complet

On tire 2 boules dans une urne (6 boules numérotées 1 à 6). $ X $ : "Nombre de boules impaires obtenues".
Valeurs possibles : 0 (2 paires), 1 (1 paire, 1 impaire), 2 (2 impaires).
  • $ P(X=0) $ : 2 paires parmi 3 (2,4,6). $ \frac{C_3^2}{C_6^2} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} $.
  • $ P(X=2) $ : 2 impaires parmi 3 (1,3,5). $ \frac{C_3^2}{C_6^2} = \frac{3}{15} = \frac{1}{5} $.
  • $ P(X=1) $ : 1 paire et 1 impaire. $ \frac{C_3^1 \times C_3^1}{C_6^2} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} $.
Tableau de la loi de $ X $ :
$ x_i $ 0 1 2
$ P(X=x_i) $ $ \frac{1}{5} $ $ \frac{3}{5} $ $ \frac{1}{5} $

Calculs :
  • Espérance : $$ E(X) = 0 \times \frac{1}{5} + 1 \times \frac{3}{5} + 2 \times \frac{1}{5} = \frac{5}{5} = 1 $$
  • Variance : $$ E(X^2) = 0^2 \times \frac{1}{5} + 1^2 \times \frac{3}{5} + 2^2 \times \frac{1}{5} = \frac{3}{5} + \frac{4}{5} = \frac{7}{5} $$ $$ V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{7}{5} - 1^2 = \frac{2}{5} = 0,4 $$
  • Écart-type : $$ \sigma(X) = \sqrt{0,4} \approx 0,632 $$