Limites et Continuité
I. Continuité et continuité à droite et à gauche d'une fonction en un point \( x_0 \)
A. Continuité d'une fonction en un point \( x_0 \)
Définition :
Soit \( f \) une fonction définie sur \( D_f \). Soit \( I \) un intervalle ouvert contenant \( x_0 \) et inclus dans \( D_f \).
\( f \) est continue au point \( x_0 \) si et seulement si :
Soit \( f \) une fonction définie sur \( D_f \). Soit \( I \) un intervalle ouvert contenant \( x_0 \) et inclus dans \( D_f \).
\( f \) est continue au point \( x_0 \) si et seulement si :
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \]
Exemple :
Soit la fonction \( f \) définie par :
On a :
Donc \( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \).
Conclusion : La fonction \( f \) est continue au point \( x_0 = 1 \).
Soit la fonction \( f \) définie par :
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - x}{x - 1} & ; x \in \mathbb{R} \setminus \{1\} \\ 1 & ; x = 1 \end{cases} \]
1. Étudier la continuité de \( f \) au point \( x_0 = 1 \).On a :
\[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{x(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} x = 1 \]
Et \( f(1) = 1 \).Donc \( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \).
Conclusion : La fonction \( f \) est continue au point \( x_0 = 1 \).
B. Continuité à droite et à gauche d'une fonction en un point \( x_0 \)
Définition :
- \( f \) est continue à droite du point \( x_0 \) si :
\[ \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0) \]
- \( f \) est continue à gauche du point \( x_0 \) si :
\[ \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) \]
Propriété :
\( f \) est continue au point \( x_0 \) si et seulement si \( f \) est continue à droite et à gauche de \( x_0 \).
Ou encore :
\( f \) est continue au point \( x_0 \) si et seulement si \( f \) est continue à droite et à gauche de \( x_0 \).
Ou encore :
\[ (f \text{ continue en } x_0) \iff \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0) \]
Exemple 1 :
Soit la fonction \( f \) définie par :
1. Déterminer \( a \) et \( b \) pour que la fonction \( f \) soit continue aux points \( x_0 = 0 \) et \( x_1 = 1 \).
\(\bullet\) Pour la continuité en \( x_0 = 0 \) :
\( f(0) = 0^2 + a(0) + 1 = 1 \).
Limite à droite : \( \lim_{x \to 0^+} (x^2 - x) = 0 \).
Limite à gauche : \( \lim_{x \to 0^-} (x^2 + ax + 1) = 1 \).
Pour la continuité, il faut que limite à droite = limite à gauche = \( f(0) \).
D'après le document original, la conclusion est \( a = 0 \) (sous réserve de la fonction exacte).
\(\bullet\) Pour la continuité en \( x_1 = 1 \) :
\( f(1) = 1^2 - 1 = 0 \).
Limite à gauche : \( \lim_{x \to 1^-} (x^2 - x) = 0 \).
Limite à droite : Doit être égale à 0. D'après le calcul du document, on trouve \( b = 2 \).
Conclusion : Les valeurs sont \( a = 0 \) et \( b = 2 \).
Soit la fonction \( f \) définie par :
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + 1 & ; x \le 0 \\ x^2 - x & ; 0 < x \le 1 \\ \frac{bx}{x^2 + x - 2} & ; x > 1 \end{cases} \]
(Note : La fonction exacte peut varier selon l'interprétation de l'OCR, voici la structure logique basée sur le calcul fourni)1. Déterminer \( a \) et \( b \) pour que la fonction \( f \) soit continue aux points \( x_0 = 0 \) et \( x_1 = 1 \).
\(\bullet\) Pour la continuité en \( x_0 = 0 \) :
\( f(0) = 0^2 + a(0) + 1 = 1 \).
Limite à droite : \( \lim_{x \to 0^+} (x^2 - x) = 0 \).
Limite à gauche : \( \lim_{x \to 0^-} (x^2 + ax + 1) = 1 \).
Pour la continuité, il faut que limite à droite = limite à gauche = \( f(0) \).
D'après le document original, la conclusion est \( a = 0 \) (sous réserve de la fonction exacte).
\(\bullet\) Pour la continuité en \( x_1 = 1 \) :
\( f(1) = 1^2 - 1 = 0 \).
Limite à gauche : \( \lim_{x \to 1^-} (x^2 - x) = 0 \).
Limite à droite : Doit être égale à 0. D'après le calcul du document, on trouve \( b = 2 \).
Conclusion : Les valeurs sont \( a = 0 \) et \( b = 2 \).
II. Continuité sur un intervalle
Définitions :
- \( f \) est continue sur un intervalle ouvert \( I = ]a, b[ \) \(\iff\) pour tout \( x \) de \( I \), \( f \) est continue en \( x \).
- \( f \) est continue sur \( [a, b[ \) \(\iff\) \( f \) est continue sur \( ]a, b[ \) et \( f \) est continue à droite de \( a \).
- \( f \) est continue sur \( ]a, b] \) \(\iff\) \( f \) est continue sur \( ]a, b[ \) et \( f \) est continue à gauche de \( b \).
- \( f \) est continue sur \( [a, b] \) \(\iff\) \( f \) est continue sur \( ]a, b[ \) et continue à droite de \( a \) et à gauche de \( b \).
Exemple :
On considère la fonction \( f \) définie par \( f(x) = x^2 + 3x \).
Montrer que \( f \) est continue sur l'intervalle \( I = ]1; 5[ \).
Soit \( x_0 \in ]1; 5[ \). \( f \) est une fonction polynomiale, donc continue en tout \( x_0 \).
On considère la fonction \( f \) définie par \( f(x) = x^2 + 3x \).
Montrer que \( f \) est continue sur l'intervalle \( I = ]1; 5[ \).
Soit \( x_0 \in ]1; 5[ \). \( f \) est une fonction polynomiale, donc continue en tout \( x_0 \).
\[ \lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} (x^2 + 3x) = x_0^2 + 3x_0 = f(x_0) \]
Conclusion : \( f \) est continue sur \( I = ]1; 5[ \).
III. Opérations sur les fonctions continues sur un intervalle \( I \subset \mathbb{R} \)
Propriétés :
Si \( f \) est continue sur \( I \) et \( g \) est continue sur \( I \) :
Si \( f \) est continue sur \( I \) et \( g \) est continue sur \( I \) :
- Les fonctions \( f + g \), \( f \times g \) et \( \alpha f \) (avec \( \alpha \in \mathbb{R} \)) sont continues sur \( I \).
- Les fonctions \( \frac{1}{g} \) et \( \frac{f}{g} \) sont continues sur \( I \) (pour \( x \in I \) tel que \( g(x) \neq 0 \)).
IV. Continuité des fonctions usuelles
Propriété :
- Toute fonction polynomiale est continue sur \( D_f = \mathbb{R} \).
- Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine de définition \( D_f \).
- Les fonctions \( f(x) = \sin(x) \) et \( g(x) = \cos(x) \) sont continues sur \( \mathbb{R} \).
- La fonction \( \tan(x) \) est continue sur \( \mathbb{R} \setminus \{ \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} \} \).
- La fonction \( f(x) = \sqrt{x} \) est continue sur \( [0, +\infty[ \).
V. Image d'un intervalle par une fonction continue
Propriété :
- L'image du segment \( [a, b] \) par une fonction continue est un segment \( J = [m, M] \) (où \( m \) est la plus petite image et \( M \) la plus grande).
\( f([a, b]) = [m, M] \). - L'image d'un intervalle \( I \) par une fonction continue est un intervalle \( J \). On note \( J = f(I) \).
VI. Image d'un intervalle par une fonction continue et strictement monotone
Si la fonction est continue et strictement croissante :
- \( f(]a, b[) = ]\lim_{x \to a^+} f(x), f(b)[ \)
- \( f([a, b[) = [f(a), \lim_{x \to b^-} f(x)[ \)
- \( f([a, b]) = [f(a), f(b)] \)
- \( f(]a, +\infty[) = ]\lim_{x \to a^+} f(x), \lim_{x \to +\infty} f(x)[ \)
- \( f([a, +\infty[) = [f(a), \lim_{x \to +\infty} f(x)[ \)
- \( f(]a, b[) = ]\lim_{x \to b^-} f(x), \lim_{x \to a^+} f(x)[ \)
- \( f([a, b]) = [f(b), f(a)] \)
- (Et ainsi de suite pour les intervalles non bornés en inversant les bornes).
VII. Continuité de la composée de deux fonctions continues
Théorème :
- Si \( f \) est continue en \( x_0 \) et \( g \) est continue en \( f(x_0) \), alors la fonction \( g \circ f \) est continue en \( x_0 \).
- Si \( f \) est continue sur \( I \) et \( g \) est continue sur \( f(I) \), alors la fonction \( g \circ f \) est continue sur \( I \).
Applications :
- \( f(x) = \sin(ax + b) \) et \( g(x) = \cos(ax + b) \) sont continues sur \( \mathbb{R} \).
- \( h(x) = \tan(ax + b) \) est continue pour tout \( x \) tel que \( ax + b \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \).
- Si \( f \) est positive et continue sur \( I \), alors \( h(x) = \sqrt{f(x)} \) est continue sur \( I \).
VIII. Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Propriété (Théorème des valeurs intermédiaires) :
Soit \( f \) une fonction continue sur \( [a, b] \).
Pour tout nombre \( k \) compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \), il existe au moins un élément \( c \) de \( [a, b] \) tel que :
Soit \( f \) une fonction continue sur \( [a, b] \).
Pour tout nombre \( k \) compris entre \( f(a) \) et \( f(b) \), il existe au moins un élément \( c \) de \( [a, b] \) tel que :
\[ f(c) = k \]
Conséquences :
- Puisque \( f \) est continue, \( f([a, b]) = [m, M] \) (l'image d'un segment est un segment).
- Si \( f(a) \) et \( f(b) \) sont de signes contraires (c-à-d \( f(a) \times f(b) < 0 \)), alors il existe au moins un \( c \in ]a, b[ \) tel que \( f(c) = 0 \).
- Si \( f \) est continue sur \( [a, b] \) et \( f(a) \times f(b) < 0 \), alors l'équation \( f(x) = 0 \) admet au moins une solution \( c \) dans \( ]a, b[ \).
Remarque :
- Si \( f \) est continue et strictement monotone sur \( [a, b] \), alors \( c \) est unique.
- Pour montrer l'existence d'au moins une solution : il faut que la fonction soit continue.
- Pour montrer l'existence d'une solution unique : il faut que la fonction soit continue et strictement monotone.
IX. Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone
Théorème :
Soit \( f \) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \( I \).
Alors \( f \) admet une fonction réciproque notée \( f^{-1} \) définie sur \( J = f(I) \).
Soit \( f \) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \( I \).
Alors \( f \) admet une fonction réciproque notée \( f^{-1} \) définie sur \( J = f(I) \).
\[ y = f(x) \iff x = f^{-1}(y) \]
Exemple :
Soit \( f \) définie sur \( [0, 3] \) par \( f(x) = x^2 \).
1. \( f \) est continue et strictement croissante sur \( [0, 3] \), donc elle admet une réciproque.
2. L'ensemble d'arrivée \( J = f([0, 3]) = [0, 9] \).
3. Détermination de \( f^{-1} \) :
On pose \( y = x^2 \) avec \( x \in [0, 3] \) et \( y \in [0, 9] \).
\( x = \sqrt{y} \) (car \( x \ge 0 \)).
Donc \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \).
En notant la variable \( x \) : \( f^{-1}(x) = \sqrt{x} \) définie sur \( [0, 9] \).
Soit \( f \) définie sur \( [0, 3] \) par \( f(x) = x^2 \).
1. \( f \) est continue et strictement croissante sur \( [0, 3] \), donc elle admet une réciproque.
2. L'ensemble d'arrivée \( J = f([0, 3]) = [0, 9] \).
3. Détermination de \( f^{-1} \) :
On pose \( y = x^2 \) avec \( x \in [0, 3] \) et \( y \in [0, 9] \).
\( x = \sqrt{y} \) (car \( x \ge 0 \)).
Donc \( f^{-1}(y) = \sqrt{y} \).
En notant la variable \( x \) : \( f^{-1}(x) = \sqrt{x} \) définie sur \( [0, 9] \).
Propriétés de la fonction réciproque \( f^{-1} \) :
- La fonction réciproque \( f^{-1} \) est continue sur \( J = f(I) \).
- La fonction réciproque \( f^{-1} \) et \( f \) varient dans le même sens.
- Les courbes \( \mathcal{C}_f \) et \( \mathcal{C}_{f^{-1}} \) sont symétriques par rapport à la 1ère bissectrice (\( D: y = x \)).
X. La fonction racine d'ordre n (ou racine nième)
Définition et théorème :
- La fonction \( f(x) = x^n \) (avec \( n \in \mathbb{N}^* \)) est continue et strictement croissante sur \( [0, +\infty[ \).
- Sa fonction réciproque est notée \( f^{-1}(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} \) et appelée fonction racine d'ordre \( n \).
- \( \sqrt[n]{x} \) s'appelle racine d'ordre \( n \) du réel positif \( x \).
Propriétés :
Soient \( a \) et \( b \) dans \( \mathbb{R}^+ \) et \( n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\} \).
Soient \( a \) et \( b \) dans \( \mathbb{R}^+ \) et \( n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\} \).
- \( \sqrt[n]{a^n} = a \)
- \( \sqrt[n]{a \times b} = \sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} \)
- \( \sqrt[n]{a} \le \sqrt[n]{b} \iff a \le b \)
- \( \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m \)
Limites :
- \( \lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty \)
- \( \lim_{x \to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to x_0} f(x)} \) (si la limite existe et est positive).
XI. Puissance rationnelle d'un nombre réel positif
Définition :
Soit \( x \in \mathbb{R}^+_* \), \( n \in \mathbb{N}^* \) et \( m \in \mathbb{Z} \). On pose \( r = \frac{m}{n} \).
Le nombre \( x^r \) s'écrit :
Soit \( x \in \mathbb{R}^+_* \), \( n \in \mathbb{N}^* \) et \( m \in \mathbb{Z} \). On pose \( r = \frac{m}{n} \).
Le nombre \( x^r \) s'écrit :
\[ x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^m} = (\sqrt[n]{x})^m \]
\( x^r \) est appelé puissance rationnelle du nombre réel positif \( x \) d'exposant \( r \).
Propriétés :
Pour tous \( a, b \in \mathbb{R}^+_* \) et \( r, r' \in \mathbb{Q} \) :
Pour tous \( a, b \in \mathbb{R}^+_* \) et \( r, r' \in \mathbb{Q} \) :
- \( a^r \times b^r = (a \times b)^r \)
- \( a^r \times a^{r'} = a^{r + r'} \)
- \( (a^r)^{r'} = a^{r \times r'} \)
- \( a^{-r} = \frac{1}{a^r} \)
- \( \left(\frac{a}{b}\right)^r = \frac{a^r}{b^r} \)