Les suites numériques
I. GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES
A. Suites majorées, minorées et bornées
DÉFINITION 1:
Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite numérique.
• On dit que la suite $(u_n)$ est majorée par un réel $M$ si et seulement si:
$$\forall n \geq n_0, \quad u_n \leq M \quad (\text{ou } u_n < M)$$ • On dit que la suite $(u_n)$ est minorée par un réel $m$ si et seulement si:
$$\forall n \geq n_0, \quad u_n \geq m \quad (\text{ou } u_n > m)$$ • La suite $(u_n)$ est dite bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.
• Une suite $(u_n)$ est bornée si et seulement si il existe un réel $A > 0$ tel que:
$$\forall n \geq n_0, \quad |u_n| \leq A$$
Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite numérique.
• On dit que la suite $(u_n)$ est majorée par un réel $M$ si et seulement si:
$$\forall n \geq n_0, \quad u_n \leq M \quad (\text{ou } u_n < M)$$ • On dit que la suite $(u_n)$ est minorée par un réel $m$ si et seulement si:
$$\forall n \geq n_0, \quad u_n \geq m \quad (\text{ou } u_n > m)$$ • La suite $(u_n)$ est dite bornée si et seulement si elle est à la fois majorée et minorée.
• Une suite $(u_n)$ est bornée si et seulement si il existe un réel $A > 0$ tel que:
$$\forall n \geq n_0, \quad |u_n| \leq A$$
B. Monotonie d'une suite
DÉFINITION 2:
Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite numérique.
• $(u_n)$ est croissante si et seulement si: $\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} \geq u_n$
• $(u_n)$ est strictement croissante si et seulement si: $\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} > u_n$
• $(u_n)$ est décroissante si et seulement si: $\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} \leq u_n$
• $(u_n)$ est strictement décroissante si et seulement si: $\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} < u_n$
• $(u_n)$ est constante si et seulement si: $\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = u_n$
• $(u_n)$ est périodique de période $T \in \mathbb{N}^*$ si et seulement si: $\forall n \geq n_0, \quad u_{n+T} = u_n$
Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite numérique.
• $(u_n)$ est croissante si et seulement si: $\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} \geq u_n$
• $(u_n)$ est strictement croissante si et seulement si: $\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} > u_n$
• $(u_n)$ est décroissante si et seulement si: $\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} \leq u_n$
• $(u_n)$ est strictement décroissante si et seulement si: $\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} < u_n$
• $(u_n)$ est constante si et seulement si: $\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = u_n$
• $(u_n)$ est périodique de période $T \in \mathbb{N}^*$ si et seulement si: $\forall n \geq n_0, \quad u_{n+T} = u_n$
II. SUITES ARITHMÉTIQUES
DÉFINITION 3:
Une suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est dite arithmétique de raison $r \in \mathbb{R}$ si et seulement si:
$$\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = u_n + r \quad \text{ou} \quad u_{n+1} - u_n = r$$
Une suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est dite arithmétique de raison $r \in \mathbb{R}$ si et seulement si:
$$\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = u_n + r \quad \text{ou} \quad u_{n+1} - u_n = r$$
PROPRIÉTÉS DES SUITES ARITHMÉTIQUES:
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{n_0}$.
1. Terme général: $$\forall n \geq n_0, \quad u_n = u_{n_0} + (n - n_0)r$$ 2. Somme des termes: Pour $S_n = \sum_{k=p}^{n} u_k = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n$
$$S_n = \frac{\text{Nombre de termes}}{2} \times (\text{Premier terme} + \text{Dernier terme})$$ $$S_n = \frac{(n - p + 1)(u_p + u_n)}{2}$$ 3. Propriété caractéristique: $\forall p, q \geq n_0$: $$u_q = u_p + (q - p)r$$ 4. Moyenne arithmétique: Si $u_i = a$, $u_{i+1} = b$, $u_{i+2} = c$ sont trois termes consécutifs:
$$b = \frac{a + c}{2} \quad \text{ou} \quad a + c = 2b$$
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_{n_0}$.
1. Terme général: $$\forall n \geq n_0, \quad u_n = u_{n_0} + (n - n_0)r$$ 2. Somme des termes: Pour $S_n = \sum_{k=p}^{n} u_k = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n$
$$S_n = \frac{\text{Nombre de termes}}{2} \times (\text{Premier terme} + \text{Dernier terme})$$ $$S_n = \frac{(n - p + 1)(u_p + u_n)}{2}$$ 3. Propriété caractéristique: $\forall p, q \geq n_0$: $$u_q = u_p + (q - p)r$$ 4. Moyenne arithmétique: Si $u_i = a$, $u_{i+1} = b$, $u_{i+2} = c$ sont trois termes consécutifs:
$$b = \frac{a + c}{2} \quad \text{ou} \quad a + c = 2b$$
III. SUITES GÉOMÉTRIQUES
DÉFINITION 4:
Une suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est dite géométrique de raison $q \in \mathbb{R}^*$ si et seulement si:
$$\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = q \times u_n$$
Une suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est dite géométrique de raison $q \in \mathbb{R}^*$ si et seulement si:
$$\forall n \geq n_0, \quad u_{n+1} = q \times u_n$$
PROPRIÉTÉS DES SUITES GÉOMÉTRIQUES:
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_{n_0}$.
1. Terme général: $$\forall n \geq n_0, \quad u_n = u_{n_0} \times q^{n - n_0}$$ 2. Somme des termes: Pour $S_n = \sum_{k=p}^{n} u_k$
Si $q \neq 1$: $$S_n = u_p \times \frac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$$ Si $q = 1$: $$S_n = u_p \times (n - p + 1)$$ 3. Propriété caractéristique: $\forall p, q \geq n_0$: $$u_q = u_p \times q^{q-p}$$ 4. Moyenne géométrique: Si $u_i = a$, $u_{i+1} = b$, $u_{i+2} = c$ sont trois termes consécutifs:
$$b^2 = a \times c$$
Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_{n_0}$.
1. Terme général: $$\forall n \geq n_0, \quad u_n = u_{n_0} \times q^{n - n_0}$$ 2. Somme des termes: Pour $S_n = \sum_{k=p}^{n} u_k$
Si $q \neq 1$: $$S_n = u_p \times \frac{1 - q^{n-p+1}}{1 - q}$$ Si $q = 1$: $$S_n = u_p \times (n - p + 1)$$ 3. Propriété caractéristique: $\forall p, q \geq n_0$: $$u_q = u_p \times q^{q-p}$$ 4. Moyenne géométrique: Si $u_i = a$, $u_{i+1} = b$, $u_{i+2} = c$ sont trois termes consécutifs:
$$b^2 = a \times c$$
IV. LIMITES D'UNE SUITE NUMÉRIQUE
A. Limite finie
DÉFINITION 5:
Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite numérique et $\ell \in \mathbb{R}$.
On dit que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ (ou a pour limite $\ell$) si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On note: $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$$
Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite numérique et $\ell \in \mathbb{R}$.
On dit que la suite $(u_n)$ converge vers $\ell$ (ou a pour limite $\ell$) si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On note: $$\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$$
PROPRIÉTÉS:
• Si une suite admet une limite, cette limite est unique.
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^i} = 0$ pour tout $i \in \mathbb{N}^*$
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \iff \lim_{n \to +\infty} (u_n - \ell) = 0$
• Si une suite admet une limite, cette limite est unique.
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^2} = 0$
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n^i} = 0$ pour tout $i \in \mathbb{N}^*$
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \iff \lim_{n \to +\infty} (u_n - \ell) = 0$
EXEMPLE:
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 3 + \frac{1}{n}$ pour $n \geq 1$.
Montrons que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$.
On a: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (u_n - 3) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$
Donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$.
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 3 + \frac{1}{n}$ pour $n \geq 1$.
Montrons que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$.
On a: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (u_n - 3) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$
Donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$.
B. Limite infinie
DÉFINITION 6:
Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite numérique.
• On dit que $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle de la forme $]A, +\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On note: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
• On dit que $(u_n)$ tend vers $-\infty$ si tout intervalle de la forme $]-\infty, A[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On note: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$
Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite numérique.
• On dit que $(u_n)$ tend vers $+\infty$ si tout intervalle de la forme $]A, +\infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On note: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
• On dit que $(u_n)$ tend vers $-\infty$ si tout intervalle de la forme $]-\infty, A[$ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
On note: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$
PROPRIÉTÉS:
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^i = +\infty$ pour tout $i \in \mathbb{N}^*$
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n = +\infty$
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^2 = +\infty$
• $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^i = +\infty$ pour tout $i \in \mathbb{N}^*$
C. Convergence et divergence
DÉFINITION 7:
• Une suite est dite convergente si elle admet une limite finie.
• Une suite est dite divergente si elle admet une limite infinie ou si elle n'admet pas de limite.
• Une suite est dite convergente si elle admet une limite finie.
• Une suite est dite divergente si elle admet une limite infinie ou si elle n'admet pas de limite.
THÉORÈME DE CONVERGENCE:
• Toute suite croissante et majorée est convergente.
• Toute suite décroissante et minorée est convergente.
• Toute suite croissante et majorée est convergente.
• Toute suite décroissante et minorée est convergente.
EXEMPLE:
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 7 + \frac{3}{n+1}$ pour $n \geq 1$.
1. Minorée: Pour tout $n \geq 1$, on a $n+1 > 0$ donc $\frac{3}{n+1} > 0$
Ainsi $u_n = 7 + \frac{3}{n+1} > 7 > 0$. La suite est minorée par 0.
2. Décroissante: Pour tout $n \geq 1$:
$n+1 \geq 1 \Rightarrow n+2 \geq n+1 \Rightarrow \frac{1}{n+2} \leq \frac{1}{n+1}$
Donc $u_{n+1} \leq u_n$. La suite est décroissante.
3. Conclusion: La suite est décroissante et minorée, donc elle est convergente.
Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_n = 7 + \frac{3}{n+1}$ pour $n \geq 1$.
1. Minorée: Pour tout $n \geq 1$, on a $n+1 > 0$ donc $\frac{3}{n+1} > 0$
Ainsi $u_n = 7 + \frac{3}{n+1} > 7 > 0$. La suite est minorée par 0.
2. Décroissante: Pour tout $n \geq 1$:
$n+1 \geq 1 \Rightarrow n+2 \geq n+1 \Rightarrow \frac{1}{n+2} \leq \frac{1}{n+1}$
Donc $u_{n+1} \leq u_n$. La suite est décroissante.
3. Conclusion: La suite est décroissante et minorée, donc elle est convergente.
V. OPÉRATIONS SUR LES LIMITES
PROPRIÉTÉS:
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites numériques telles que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = \ell'$.
Somme: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = \ell + \ell'$
Produit: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (u_n \times v_n) = \ell \times \ell'$
Quotient: Si $\ell' \neq 0$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{\ell'}$
Ordre: Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang, alors $\ell \leq \ell'$
Positivité: Si $u_n > 0$ à partir d'un certain rang, alors $\ell \geq 0$
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites numériques telles que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$ et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = \ell'$.
Somme: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (u_n + v_n) = \ell + \ell'$
Produit: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (u_n \times v_n) = \ell \times \ell'$
Quotient: Si $\ell' \neq 0$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \frac{u_n}{v_n} = \frac{\ell}{\ell'}$
Ordre: Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang, alors $\ell \leq \ell'$
Positivité: Si $u_n > 0$ à partir d'un certain rang, alors $\ell \geq 0$
VI. CRITÈRES DE CONVERGENCE
THÉORÈME DES GENDARMES:
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles qu'à partir d'un certain rang $p$:
$$v_n \leq u_n \leq w_n \quad \text{pour tout } n \geq p$$ Si $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = \ell$, alors:
$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$$
Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites telles qu'à partir d'un certain rang $p$:
$$v_n \leq u_n \leq w_n \quad \text{pour tout } n \geq p$$ Si $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = \ell$, alors:
$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$$
THÉORÈME DE COMPARAISON:
• Si $u_n \geq v_n$ à partir d'un certain rang et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
• Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$
• Si $|u_n - \ell| \leq v_n$ à partir d'un certain rang et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$
• Si $u_n \geq v_n$ à partir d'un certain rang et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
• Si $u_n \leq v_n$ à partir d'un certain rang et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = -\infty$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = -\infty$
• Si $|u_n - \ell| \leq v_n$ à partir d'un certain rang et $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 0$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$
EXEMPLE 1:
Soit $(v_n)$ définie par $v_n = 5 - \frac{(-1)^n}{n}$ pour $n > 0$.
Montrons que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 5$.
On a: $-1 \leq (-1)^n \leq 1$ donc $-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$
Ainsi: $5 - \frac{1}{n} \leq 5 - \frac{(-1)^n}{n} \leq 5 + \frac{1}{n}$
Or $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(5 - \frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to +\infty} \left(5 + \frac{1}{n}\right) = 5$
D'après le théorème des gendarmes: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 5$
Soit $(v_n)$ définie par $v_n = 5 - \frac{(-1)^n}{n}$ pour $n > 0$.
Montrons que $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 5$.
On a: $-1 \leq (-1)^n \leq 1$ donc $-\frac{1}{n} \leq \frac{(-1)^n}{n} \leq \frac{1}{n}$
Ainsi: $5 - \frac{1}{n} \leq 5 - \frac{(-1)^n}{n} \leq 5 + \frac{1}{n}$
Or $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(5 - \frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to +\infty} \left(5 + \frac{1}{n}\right) = 5$
D'après le théorème des gendarmes: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = 5$
EXEMPLE 2:
Soit $(u_n)$ définie par $u_n = 2n + \cos(n)$ pour $n \geq 0$.
On a: $-1 \leq \cos(n) \leq 1$ donc $2n - 1 \leq 2n + \cos(n) \leq 2n + 1$
Ainsi: $u_n \geq 2n - 1$
Or $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (2n - 1) = +\infty$
Donc par comparaison: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
Soit $(u_n)$ définie par $u_n = 2n + \cos(n)$ pour $n \geq 0$.
On a: $-1 \leq \cos(n) \leq 1$ donc $2n - 1 \leq 2n + \cos(n) \leq 2n + 1$
Ainsi: $u_n \geq 2n - 1$
Or $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} (2n - 1) = +\infty$
Donc par comparaison: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$
VII. SUITES DE FORMES PARTICULIÈRES
A. Suite géométrique $u_n = q^n$
LIMITE DE $q^n$:
Soit $q \in \mathbb{R}$.
• Si $q > 1$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$
• Si $q = 1$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = 1$
• Si $-1 < q < 1$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$
• Si $q \leq -1$, alors $(q^n)$ n'admet pas de limite.
Soit $q \in \mathbb{R}$.
• Si $q > 1$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$
• Si $q = 1$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = 1$
• Si $-1 < q < 1$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$
• Si $q \leq -1$, alors $(q^n)$ n'admet pas de limite.
B. Suite $u_n = n^r$
LIMITE DE $n^r$:
Soit $r \in \mathbb{R}^*$.
• Si $r > 0$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^r = +\infty$
• Si $r < 0$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^r = 0$
Soit $r \in \mathbb{R}^*$.
• Si $r > 0$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^r = +\infty$
• Si $r < 0$, alors $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n^r = 0$
C. Suite $v_n = f(u_n)$
THÉORÈME:
Soit $(u_n)$ une suite convergente vers $\ell$ et $f$ une fonction continue en $\ell$.
Alors la suite $(v_n)$ définie par $v_n = f(u_n)$ est convergente vers $f(\ell)$.
$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \quad \text{et} \quad f \text{ continue en } \ell \quad \Rightarrow \quad \lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(\ell)$$
Soit $(u_n)$ une suite convergente vers $\ell$ et $f$ une fonction continue en $\ell$.
Alors la suite $(v_n)$ définie par $v_n = f(u_n)$ est convergente vers $f(\ell)$.
$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell \quad \text{et} \quad f \text{ continue en } \ell \quad \Rightarrow \quad \lim_{n \to +\infty} f(u_n) = f(\ell)$$
EXEMPLE:
Soit $f(x) = \frac{5x-6}{x+3}$ et la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{\cos n}{n}$ pour $n \geq 1$.
On considère $(v_n)$ définie par $v_n = f(u_n)$.
1. Expression de $v_n$:
$v_n = f(u_n) = \frac{5u_n - 6}{u_n + 3} = \frac{5\frac{\cos n}{n} - 6}{\frac{\cos n}{n} + 3} = \frac{5\cos n - 6n}{\cos n + 3n}$
2. Limite de $(u_n)$:
On a $-1 \leq \cos n \leq 1$ donc $-\frac{1}{n} \leq \frac{\cos n}{n} \leq \frac{1}{n}$
Or $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$
Donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$
3. Limite de $(v_n)$:
La fonction $f$ est continue en 0 (car $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$)
Donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = f(0) = \frac{-6}{3} = -2$
Soit $f(x) = \frac{5x-6}{x+3}$ et la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \frac{\cos n}{n}$ pour $n \geq 1$.
On considère $(v_n)$ définie par $v_n = f(u_n)$.
1. Expression de $v_n$:
$v_n = f(u_n) = \frac{5u_n - 6}{u_n + 3} = \frac{5\frac{\cos n}{n} - 6}{\frac{\cos n}{n} + 3} = \frac{5\cos n - 6n}{\cos n + 3n}$
2. Limite de $(u_n)$:
On a $-1 \leq \cos n \leq 1$ donc $-\frac{1}{n} \leq \frac{\cos n}{n} \leq \frac{1}{n}$
Or $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \left(-\frac{1}{n}\right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} = 0$
Donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 0$
3. Limite de $(v_n)$:
La fonction $f$ est continue en 0 (car $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$)
Donc $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = f(0) = \frac{-6}{3} = -2$
D. Suite récurrente $u_{n+1} = f(u_n)$
THÉORÈME:
Soit $(u_n)_{n \geq 0}$ une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f$ est une fonction.
Si:
• $f$ est continue sur un intervalle $I$
• $f(I) \subset I$
• $u_0 \in I$
• La suite $(u_n)$ est convergente vers $\ell$
Alors $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$ sur $I$.
Soit $(u_n)_{n \geq 0}$ une suite définie par $u_{n+1} = f(u_n)$ où $f$ est une fonction.
Si:
• $f$ est continue sur un intervalle $I$
• $f(I) \subset I$
• $u_0 \in I$
• La suite $(u_n)$ est convergente vers $\ell$
Alors $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = x$ sur $I$.
EXEMPLE:
Soit $f(x) = \sqrt{x+6}$ et la suite $(u_n)$ définie par:
$\begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n} \quad \text{pour } n \geq 0 \end{cases}$
1. Tableau de variation de $f$:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+6}} > 0$ pour $x > -6$
Donc $f$ est strictement croissante sur $[-6, +\infty[$
2. Étude sur $I = [0, 3]$:
$f(I) = [f(0), f(3)] = [\sqrt{6}, 3] \subset [0, 3]$
3. Majoration: Par récurrence, on montre que $0 \leq u_n \leq 3$ pour tout $n$
4. Monotonie:
$u_{n+1} - u_n = \sqrt{6 + u_n} - u_n = \frac{6 + u_n - u_n^2}{\sqrt{6 + u_n} + u_n} = \frac{(3-u_n)(2+u_n)}{\sqrt{6 + u_n} + u_n}$
Comme $0 \leq u_n \leq 3$, on a $u_{n+1} - u_n \geq 0$
Donc $(u_n)$ est croissante.
5. Convergence: La suite est croissante et majorée par 3, donc convergente.
6. Limite: Soit $\ell$ la limite. Alors $f(\ell) = \ell$
$\sqrt{\ell+6} = \ell \Leftrightarrow \ell + 6 = \ell^2 \Leftrightarrow \ell^2 - \ell - 6 = 0$
$\Leftrightarrow (\ell-3)(\ell+2) = 0$
Donc $\ell = 3$ (car $\ell \in [0,3]$) ou $\ell = -2$ (exclu)
Conclusion: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$
Soit $f(x) = \sqrt{x+6}$ et la suite $(u_n)$ définie par:
$\begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = \sqrt{6 + u_n} \quad \text{pour } n \geq 0 \end{cases}$
1. Tableau de variation de $f$:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x+6}} > 0$ pour $x > -6$
Donc $f$ est strictement croissante sur $[-6, +\infty[$
2. Étude sur $I = [0, 3]$:
$f(I) = [f(0), f(3)] = [\sqrt{6}, 3] \subset [0, 3]$
3. Majoration: Par récurrence, on montre que $0 \leq u_n \leq 3$ pour tout $n$
4. Monotonie:
$u_{n+1} - u_n = \sqrt{6 + u_n} - u_n = \frac{6 + u_n - u_n^2}{\sqrt{6 + u_n} + u_n} = \frac{(3-u_n)(2+u_n)}{\sqrt{6 + u_n} + u_n}$
Comme $0 \leq u_n \leq 3$, on a $u_{n+1} - u_n \geq 0$
Donc $(u_n)$ est croissante.
5. Convergence: La suite est croissante et majorée par 3, donc convergente.
6. Limite: Soit $\ell$ la limite. Alors $f(\ell) = \ell$
$\sqrt{\ell+6} = \ell \Leftrightarrow \ell + 6 = \ell^2 \Leftrightarrow \ell^2 - \ell - 6 = 0$
$\Leftrightarrow (\ell-3)(\ell+2) = 0$
Donc $\ell = 3$ (car $\ell \in [0,3]$) ou $\ell = -2$ (exclu)
Conclusion: $\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = 3$
VIII. RÉSUMÉ DES LIMITES USUELLES
LIMITES DE RÉFÉRENCE:
| Suite | Limite | Conditions |
|---|---|---|
| $\frac{1}{n}$ | $0$ | $n \to +\infty$ |
| $\frac{1}{n^2}$ | $0$ | $n \to +\infty$ |
| $n$ | $+\infty$ | $n \to +\infty$ |
| $n^2$ | $+\infty$ | $n \to +\infty$ |
| $q^n$ | $+\infty$ | $q > 1$ |
| $q^n$ | $0$ | $-1 < q < 1$ |
| $n^r$ | $+\infty$ | $r > 0$ |
| $n^r$ | $0$ | $r < 0$ |