Les nombres complexes (Partie 2)
I. Notation Exponentielle et Formules d'Euler
1. Écriture exponentielle d'un nombre complexe
Définition :
Soit $z$ un nombre complexe non nul de forme trigonométrique $[r, \alpha]$, c'est-à-dire : $$z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$$ On note cette écriture sous la forme exponentielle : $$z = r e^{i\alpha}$$ où $r = |z|$ est le module de $z$ et $\alpha = \arg(z)$ est un argument de $z$.
Soit $z$ un nombre complexe non nul de forme trigonométrique $[r, \alpha]$, c'est-à-dire : $$z = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$$ On note cette écriture sous la forme exponentielle : $$z = r e^{i\alpha}$$ où $r = |z|$ est le module de $z$ et $\alpha = \arg(z)$ est un argument de $z$.
Propriétés des exponentielles :
Pour tous réels $\alpha, \beta$ et tout entier naturel $n$ :
Pour tous réels $\alpha, \beta$ et tout entier naturel $n$ :
- $e^{i0} = 1$
- $e^{i(\alpha + \beta)} = e^{i\alpha} \times e^{i\beta}$
- $e^{i(\alpha - \beta)} = \frac{e^{i\alpha}}{e^{i\beta}}$
- $(e^{i\alpha})^n = e^{in\alpha}$
- $e^{-i\alpha} = \frac{1}{e^{i\alpha}} = \overline{e^{i\alpha}}$
2. Formules d'Euler
Soit $\alpha \in \mathbb{R}$. On pose $z = e^{i\alpha} = \cos \alpha + i \sin \alpha$ et $\bar{z} = e^{-i\alpha} = \cos \alpha - i \sin \alpha$.
En additionnant et en soustrayant ces deux égalités, on obtient les formules d'Euler : $$ \cos \alpha = \frac{e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}}{2} $$ $$ \sin \alpha = \frac{e^{i\alpha} - e^{-i\alpha}}{2i} $$
En additionnant et en soustrayant ces deux égalités, on obtient les formules d'Euler : $$ \cos \alpha = \frac{e^{i\alpha} + e^{-i\alpha}}{2} $$ $$ \sin \alpha = \frac{e^{i\alpha} - e^{-i\alpha}}{2i} $$
3. Application : Linéarisation
La linéarisation consiste à exprimer $\cos^n x$ ou $\sin^n x$ en fonction de $\cos(kx)$ ou $\sin(kx)$.
Exemple : Linéariser $\cos^3 x$.
D'après la formule d'Euler : $\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$.
Alors : $$ \cos^3 x = \left( \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} \left( e^{3ix} + 3e^{2ix}e^{-ix} + 3e^{ix}e^{-2ix} + e^{-3ix} \right) $$ $$ \cos^3 x = \frac{1}{8} \left( (e^{3ix} + e^{-3ix}) + 3(e^{ix} + e^{-ix}) \right) $$ En utilisant à nouveau les formules d'Euler : $$ \cos^3 x = \frac{1}{8} (2\cos 3x + 3 \times 2\cos x) $$ $$ \cos^3 x = \frac{1}{4}\cos 3x + \frac{3}{4}\cos x $$
D'après la formule d'Euler : $\cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}$.
Alors : $$ \cos^3 x = \left( \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \right)^3 = \frac{1}{8} \left( e^{3ix} + 3e^{2ix}e^{-ix} + 3e^{ix}e^{-2ix} + e^{-3ix} \right) $$ $$ \cos^3 x = \frac{1}{8} \left( (e^{3ix} + e^{-3ix}) + 3(e^{ix} + e^{-ix}) \right) $$ En utilisant à nouveau les formules d'Euler : $$ \cos^3 x = \frac{1}{8} (2\cos 3x + 3 \times 2\cos x) $$ $$ \cos^3 x = \frac{1}{4}\cos 3x + \frac{3}{4}\cos x $$
II. Équations du Second Degré dans $\mathbb{C}$
1. Équation de la forme $z^2 = a$
Soit $a \in \mathbb{R}$. L'ensemble des solutions de l'équation $z^2 = a$ dans $\mathbb{C}$ est :
- Si $a = 0$, alors $S = \{0\}$.
- Si $a > 0$, alors $S = \{-\sqrt{a}, \sqrt{a}\}$.
- Si $a < 0$, alors $S = \{-i\sqrt{-a}, i\sqrt{-a}\}$.
2. Équation générale $az^2 + bz + c = 0$
Soit l'équation $(E) : az^2 + bz + c = 0$ où $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$.
On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
On calcule le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$.
Théorème :
| Signe de $\Delta$ | Solutions dans $\mathbb{C}$ |
|---|---|
| $\Delta = 0$ | Une solution double réelle : $z_0 = -\frac{b}{2a}$ |
| $\Delta > 0$ | Deux solutions réelles distinctes : $z_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$ |
| $\Delta < 0$ | Deux solutions complexes conjuguées : $z_1 = \frac{-b - i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ et $z_2 = \frac{-b + i\sqrt{-\Delta}}{2a}$ |
Remarques :
- Somme des racines : $z_1 + z_2 = -\frac{b}{a}$
- Produit des racines : $z_1 \times z_2 = \frac{c}{a}$
- Factorisation : $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2)$
Exemple d'application :
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 + z + 1 = 0$.
$\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$.
L'équation admet deux solutions complexes conjuguées : $$ z_1 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}, \quad z_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} $$
Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : $z^2 + z + 1 = 0$.
$\Delta = 1^2 - 4(1)(1) = -3 < 0$.
L'équation admet deux solutions complexes conjuguées : $$ z_1 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}, \quad z_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} $$
III. Écriture Complexe des Transformations du Plan
Le plan complexe $\mathcal{P}$ est muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$. À tout point $M$ d'affixe $z$, on associe un point $M'$ d'affixe $z'$ par une transformation $f$ d'écriture complexe $z' = f(z)$.
1. La Translation
Définition : La translation de vecteur $\vec{u}$ d'affixe $b$ transforme $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $\vec{MM'} = \vec{u}$.
Écriture complexe : $$ z' = z + b $$
Écriture complexe : $$ z' = z + b $$
2. L'Homothétie
Définition : L'homothétie de centre $\Omega(\omega)$ et de rapport $k$ ($k \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$) transforme $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $\vec{\Omega M'} = k \vec{\Omega M}$.
Écriture complexe : $$ z' - \omega = k(z - \omega) \quad \text{ou} \quad z' = kz + b $$ où $b = \omega(1 - k)$. Le centre est donné par $\omega = \frac{b}{1-k}$.
Écriture complexe : $$ z' - \omega = k(z - \omega) \quad \text{ou} \quad z' = kz + b $$ où $b = \omega(1 - k)$. Le centre est donné par $\omega = \frac{b}{1-k}$.
3. La Rotation
Définition : La rotation de centre $\Omega(\omega)$ et d'angle $\theta$ transforme $M(z)$ en $M'(z')$ tel que $\Omega M' = \Omega M$ et $(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}) \equiv \theta [2\pi]$.
Écriture complexe : $$ z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega) \quad \text{ou} \quad z' = e^{i\theta}z + b $$ où $b = \omega(1 - e^{i\theta})$. Le centre est donné par $\omega = \frac{b}{1 - e^{i\theta}}$.
Écriture complexe : $$ z' - \omega = e^{i\theta}(z - \omega) \quad \text{ou} \quad z' = e^{i\theta}z + b $$ où $b = \omega(1 - e^{i\theta})$. Le centre est donné par $\omega = \frac{b}{1 - e^{i\theta}}$.
4. Résumé des Transformations
| Transformation | Forme générale $z' = az + b$ | Conditions sur $a$ | Éléments caractéristiques |
|---|---|---|---|
| Translation | $z' = z + b$ | $a = 1$ | Vecteur $\vec{u}$ d'affixe $b$ |
| Homothétie | $z' = kz + b$ | $a = k \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$ | Centre $\omega = \frac{b}{1-k}$, Rapport $k$ |
| Rotation | $z' = e^{i\theta}z + b$ | $|a| = 1$ et $a \neq 1$ | Centre $\omega = \frac{b}{1-a}$, Angle $\theta = \arg(a)$ |
Exercice d'application :
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des transformations suivantes :
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des transformations suivantes :
- $z' = -4z + 2 + 5i$
Ici $a = -4 \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$. C'est une homothétie.
Rapport $k = -4$.
Centre $\omega = \frac{2+5i}{1 - (-4)} = \frac{2+5i}{5} = \frac{2}{5} + i$. - $z' = \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)z + 4 - 2i$
On reconnaît $a = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = e^{i\frac{\pi}{6}}$. Comme $|a|=1$ et $a \neq 1$, c'est une rotation.
Angle $\theta = \frac{\pi}{6}$.
Centre $\omega = \frac{4-2i}{1 - e^{i\frac{\pi}{6}}}$.
IV. Géométrie Plane et Nombres Complexes
Soient $A, B, C, D$ quatre points du plan d'affixes respectives $z_A, z_B, z_C, z_D$.
1. Distances et Milieux
- Longueur AB : $AB = |z_B - z_A|$
- Milieu I de [AB] : $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$
2. Angles Orientés
- Angle $(\vec{u}, \vec{AB})$ : $(\vec{u}, \vec{AB}) \equiv \arg(z_B - z_A) [2\pi]$
- Angle $(\vec{AB}, \vec{CD})$ : $(\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv \arg\left( \frac{z_D - z_C}{z_B - z_A} \right) [2\pi]$
3. Alignement et Orthogonalité
| Configuration Géométrique | Condition Complexe | Interprétation |
|---|---|---|
| $A, B, C$ alignés | $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$ | $\arg\left( \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \right) \equiv 0 [\pi]$ |
| $(AB) // (CD)$ | $\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A} \in \mathbb{R}$ | $(\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv 0 [\pi]$ |
| $(AB) \perp (CD)$ | $\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}$ | $(\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv \frac{\pi}{2} [\pi]$ |
| $A, B, C, D$ cocycliques ou alignés | $\frac{z_D - z_C}{z_B - z_A} \times \frac{\bar{z}_B - \bar{z}_A}{\bar{z}_D - \bar{z}_C} \in \mathbb{R}$ | $(\vec{AB}, \vec{CD}) \equiv (\vec{AB}, \vec{AD}) [2\pi]$ (Cas cocyclique) |
4. Ensembles de Points (Lieux Géométriques)
- Médiatrice de [AB] : L'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - z_A| = |z - z_B|$.
- Cercle : L'ensemble des points $M(z)$ tels que $|z - z_A| = r$ ($r > 0$) est le cercle de centre $A$ et de rayon $r$.
5. Nature d'un Triangle ABC
- Triangle isocèle en A : $|z_C - z_A| = |z_B - z_A|$ ou $\left| \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \right| = 1$.
- Triangle rectangle en A : $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \in i\mathbb{R}$ (ou $\arg\left( \frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} \right) \equiv \pm \frac{\pi}{2} [2\pi]$).
- Triangle équilatéral : $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = e^{\pm i\frac{\pi}{3}}$.