Les équations différentielles

• $f$ est une fonction; on la note par $y$.
• $f'$ est sa dérivée; on la note par $y'$.
• L'écriture $f'(x) = af(x) + b$ on la note par $y' = ay + b$ on l'appelle équation différentielle linéaire de premier degré de coefficients constants $a$ et $b$.
• Toute fonction $g$ dérivable qui vérifie cette équation différentielle ($g'(x) = ag(x) + b$) on l'appelle solution particulière de l'équation différentielle.
• Résoudre une équation différentielle c'est de trouver toutes les fonctions qui vérifient l'équation différentielle (c'est-à-dire de trouver la solution générale).
• Le programme se limite aux équations différentielles de la forme:
  1. $y' = ay + b$ avec $a$ et $b$ de $\mathbb{R}$.
  2. $y'' + ay' + by = 0$ avec $a$ et $b$ de $\mathbb{R}$.

Soit l'équation différentielle $(E): y' = ay + b$ avec $a$ et $b$ de $\mathbb{R}$.

Cas général $a \neq 0$: l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions de la forme:
$$f(x) = \alpha \times e^{ax} - \frac{b}{a} \quad \text{avec} \quad \alpha \in \mathbb{R}$$

Cas particulier 1: $a = 0$ et $b = 0$ l'équation $(E)$ est $y' = 0$ l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions de la forme $f(x) = c$.

Cas particulier 2: $a = 0$ et $b \neq 0$ l'équation $(E)$ est $y' = b$ l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions de la forme $f(x) = bx + \alpha$ avec $\alpha \in \mathbb{R}$.

Résoudre les équations différentielles suivantes:

1. $y' = 4y + 5$ donc $a = 4$ et $b = 5$ d'où: l'ensemble des solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme:
$$f(x) = \alpha \times e^{ax} - \frac{b}{a} = \alpha e^{4x} - \frac{5}{4} \quad \text{avec} \quad \alpha \in \mathbb{R}$$

2. $y' = -3y$ donc $a = -3$ et $b = 0$ d'où: l'ensemble des solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme:
$$f(x) = \alpha \times e^{ax} - \frac{b}{a} = \alpha e^{-3x} - 0 = \alpha e^{-3x} \quad \text{avec} \quad \alpha \in \mathbb{R}$$

3. $y' = 7$ donc $a = 0$ et $b = 7$ d'où: l'ensemble des solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme:
$$f(x) = bx + \alpha = 7x + \alpha \quad \text{avec} \quad \alpha \in \mathbb{R}$$

4. $y' = 0$ donc $a = 0$ et $b = 0$ d'où: l'ensemble des solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme:
$$f(x) = \alpha \quad \text{avec} \quad \alpha \in \mathbb{R}$$

L'équation différentielle $(E): y' = ay + b$ avec $a \neq 0$ et $b$ de $\mathbb{R}$.

Il existe une et une seule fonction $f$ solution de $(E)$ et qui vérifie la condition initiale $f(x_0) = y_0$ avec $x_0$ et $y_0 \in \mathbb{R}$.

Déterminer la solution de $(E): y' = 4y + 5$ qui vérifie la condition initiale $f(-7) = 11$.

D'après l'exemple précédent l'ensemble des solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme:
$$f(x) = \alpha \times e^{ax} - \frac{b}{a} = \alpha e^{4x} - \frac{5}{4} \quad \text{avec} \quad \alpha \in \mathbb{R}$$

On détermine la fonction qui vérifie la condition initiale $f(-7) = 11$. On a:
$$f(-7) = 11 \Leftrightarrow \alpha e^{4 \times (-7)} - \frac{5}{4} = 11$$ $$\Leftrightarrow \alpha e^{-28} = 11 + \frac{5}{4} = \frac{49}{4}$$ $$\Leftrightarrow \alpha = \frac{49}{4} \times e^{28} = \frac{49e^{28}}{4}$$

On remarque que: $\alpha = \frac{49e^{28}}{4}$ est un nombre réel unique d'où il existe une fonction unique telle que $f(-7) = 11$ c'est la fonction:
$$f(x) = \frac{49e^{28}}{4} \times e^{4x} - \frac{5}{4} = \frac{49e^{4x+28}}{4} - \frac{5}{4} \quad \text{avec} \quad \alpha \in \mathbb{R}$$

• Équation différentielle de la forme $y'' + ay' + by = 0$ avec $a$ et $b$ de $\mathbb{R}$ tel que l'inconnue c'est la fonction $y$ avec $y'$ sa dérivée première et $y''$ sa dérivée seconde s'appelle équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants sans second membre.
• L'équation $(r): r^2 + ar + b = 0$ avec $r \in \mathbb{R}$ s'appelle l'équation caractéristique de l'équation: $y'' + ay' + by = 0$.
• Le nombre $\Delta = a^2 - 4b$ s'appelle le discriminant de l'équation caractéristique.

La solution générale de l'équation différentielle $(E): y'' + ay' + by = 0$ avec $a$ et $b$ de $\mathbb{R}$ dépend du signe de $\Delta$.

1er cas: $\Delta > 0$: Donc l'équation caractéristique a deux solutions réelles distinctes $r_1$ et $r_2$. D'où la solution générale de $(E)$ sont les fonctions de la forme:
$$y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x} \quad ; \quad \alpha \text{ et } \beta \text{ de } \mathbb{R}$$

2ème cas: $\Delta = 0$: Donc l'équation caractéristique a une solution réelle double $r_1$. D'où la solution générale de $(E)$ sont les fonctions de la forme:
$$f(x) = (\alpha x + \beta) e^{r_1 x} \quad ; \quad \alpha \text{ et } \beta \text{ de } \mathbb{R}$$

3ème cas: $\Delta < 0$: Donc l'équation caractéristique a deux solutions complexes conjuguées $r_1 = p + qi$ et $r_2 = p - qi$. D'où la solution générale de $(E)$ sont les fonctions de la forme:
$$f(x) = e^{px} \left( \alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx) \right) \quad ; \quad \alpha \text{ et } \beta \text{ de } \mathbb{R}$$

1. Résoudre l'équation différentielle $(E): y'' - 5y' + 6y = 0$.

• L'équation caractéristique de $(E)$ est: $(r): r^2 - 5r + 6 = 0$ avec $r \in \mathbb{R}$.

• On a $\Delta = a^2 - 4b = (-5)^2 - 4 \times 6 = 25 - 24 = 1 > 0$ d'où l'équation caractéristique de $(E)$ admet deux solutions réelles distinctes $r_1 = 2$ et $r_2 = 3$.

• Ensemble des solutions de l'équation $(E)$ sont les fonctions de la forme:
$$f(x) = \alpha e^{2x} + \beta e^{3x} \quad \text{avec} \quad \alpha \text{ et } \beta \text{ de } \mathbb{R}$$

2. Résoudre l'équation différentielle $(E): y'' + y' + y = 0$.

• L'équation caractéristique de $(E)$ est: $(r): r^2 + r + 1 = 0$ avec $r \in \mathbb{R}$.

• On a $\Delta = a^2 - 4b = 1^2 - 4 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0$ d'où l'équation caractéristique de $(E)$ admet deux solutions complexes conjuguées:
$$r_1 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad r_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}$$

• Ensemble des solutions de l'équation $(E)$ sont les fonctions de la forme:
$$f(x) = e^{-\frac{1}{2}x} \left( \alpha \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) + \beta \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) \right) \quad \text{avec} \quad \alpha \text{ et } \beta \text{ de } \mathbb{R}$$

3. Résoudre l'équation différentielle $(E): y'' - 4y' + 4 = 0$.

• L'équation caractéristique de $(E)$ est: $(r): r^2 - 4r + 4 = 0$ avec $r \in \mathbb{R}$. (On a $(r): (r - 2)^2 = 0$)

• On a $\Delta = a^2 - 4b = (-4)^2 - 4 \times 4 = 16 - 16 = 0$ d'où l'équation caractéristique de $(E)$ admet une seule solution réelle double $r_1 = 2$.

• Ensemble des solutions de l'équation $(E)$ sont les fonctions de la forme:
$$f(x) = (\alpha x + \beta) e^{2x} \quad \text{avec} \quad \alpha \text{ et } \beta \text{ de } \mathbb{R}$$

Type d'équation	Forme générale	Solution générale
Premier ordre	$y' = ay + b$ ($a \neq 0$)	$f(x) = \alpha e^{ax} - \frac{b}{a}$
Premier ordre	$y' = 0$	$f(x) = \alpha$
Premier ordre	$y' = b$ ($b \neq 0$)	$f(x) = bx + \alpha$
Second ordre ($\Delta > 0$)	$y'' + ay' + by = 0$	$f(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x}$
Second ordre ($\Delta = 0$)	$y'' + ay' + by = 0$	$f(x) = (\alpha x + \beta) e^{r_1 x}$
Second ordre ($\Delta < 0$)	$y'' + ay' + by = 0$	$f(x) = e^{px}(\alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx))$

Pour déterminer les constantes $\alpha$ et $\beta$, on utilise les conditions initiales données dans l'énoncé.

Exemple: Si on donne $f(0) = 1$ et $f'(0) = 2$, on substitue ces valeurs dans la solution générale et sa dérivée pour trouver $\alpha$ et $\beta$.

Pour vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle:

1. Calculer la dérivée (ou les dérivées) de la fonction.
2. Substituer dans l'équation différentielle.
3. Vérifier que l'égalité est satisfaite pour tout $x$ du domaine.