Les équations différentielles

• \(f\) est une fonction; on la note par \(y\).
• \(f'\) est sa dérivée; on la note par \(y'\).
• L'écriture \(f'(x) = af(x) + b\) on la note par \(y' = ay + b\) on l'appelle équation différentielle linéaire de premier degré de coefficients constants \(a\) et \(b\).
• Toute fonction \(g\) dérivable qui vérifie cette équation différentielle (\(g'(x) = ag(x) + b\)) on l'appelle solution particulière de l'équation différentielle.
• Résoudre une équation différentielle c'est de trouver toutes les fonctions qui vérifient l'équation différentielle (c'est-à-dire de trouver la solution générale).
• Le programme se limite aux équations différentielles de la forme:
  1. \(y' = ay + b\) avec \(a\) et \(b\) de \(\mathbb{R}\).
  2. \(y'' + ay' + by = 0\) avec \(a\) et \(b\) de \(\mathbb{R}\).

Soit l'équation différentielle \((E): y' = ay + b\) avec \(a\) et \(b\) de \(\mathbb{R}\).

Cas général \(a \neq 0\): l'ensemble des solutions de l'équation différentielle \((E)\) sont les fonctions de la forme:
\[ f(x) = \alpha e^{ax} - \frac{b}{a} \quad \text{avec} \quad \alpha \in \mathbb{R} \]

Cas particulier 1: \(a = 0\) et \(b = 0\) l'équation \((E)\) est \(y' = 0\) l'ensemble des solutions de l'équation différentielle \((E)\) sont les fonctions de la forme \(f(x) = c\).

Cas particulier 2: \(a = 0\) et \(b \neq 0\) l'équation \((E)\) est \(y' = b\) l'ensemble des solutions de l'équation différentielle \((E)\) sont les fonctions de la forme \(f(x) = bx + \alpha\) avec \(\alpha \in \mathbb{R}\).

Résoudre les équations différentielles suivantes:

1. \(y' = 4y + 5\) donc \(a = 4\) et \(b = 5\) d'où: l'ensemble des solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme:
\[ f(x) = \alpha e^{4x} - \frac{5}{4} \quad \text{avec} \quad \alpha \in \mathbb{R} \]

2. \(y' = -3y\) donc \(a = -3\) et \(b = 0\) d'où: l'ensemble des solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme:
\[ f(x) = \alpha e^{-3x} \quad \text{avec} \quad \alpha \in \mathbb{R} \]

3. \(y' = 7\) donc \(a = 0\) et \(b = 7\) d'où: l'ensemble des solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme:
\[ f(x) = 7x + \alpha \quad \text{avec} \quad \alpha \in \mathbb{R} \]

4. \(y' = 0\) donc \(a = 0\) et \(b = 0\) d'où: l'ensemble des solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme:
\[ f(x) = \alpha \quad \text{avec} \quad \alpha \in \mathbb{R} \]

L'équation différentielle \((E): y' = ay + b\) avec \(a \neq 0\) et \(b \in \mathbb{R}\).

Il existe une et une seule fonction \(f\) solution de \((E)\) et qui vérifie la condition initiale \(f(x_0) = y_0\) avec \(x_0\) et \(y_0 \in \mathbb{R}\).

Déterminer la solution de \((E): y' = 4y + 5\) qui vérifie la condition initiale \(f(-7) = 11\).

D'après l'exemple précédent l'ensemble des solutions de l'équation différentielle sont les fonctions de la forme:
\[ f(x) = \alpha e^{4x} - \frac{5}{4} \quad \text{avec} \quad \alpha \in \mathbb{R} \]

On détermine la fonction qui vérifie la condition initiale \(f(-7) = 11\). On a:
\[ f(-7) = 11 \Leftrightarrow \alpha e^{4 \times (-7)} - \frac{5}{4} = 11 \] \[ \Leftrightarrow \alpha e^{-28} = 11 + \frac{5}{4} = \frac{49}{4} \] \[ \Leftrightarrow \alpha = \frac{49}{4} e^{28} = \frac{49e^{28}}{4} \]

On remarque que \(\alpha = \frac{49e^{28}}{4}\) est un nombre réel unique d'où il existe une fonction unique telle que \(f(-7) = 11\) c'est la fonction:
\[ f(x) = \frac{49e^{28}}{4} e^{4x} - \frac{5}{4} = \frac{49e^{4x+28}}{4} - \frac{5}{4} \]

• Équation différentielle de la forme \(y'' + ay' + by = 0\) avec \(a\) et \(b\) de \(\mathbb{R}\) tel que l'inconnue c'est la fonction \(y\) avec \(y'\) sa dérivée première et \(y''\) sa dérivée seconde s'appelle équation différentielle linéaire d'ordre 2 à coefficients constants sans second membre.
• L'équation \(r^2 + ar + b = 0\) avec \(r \in \mathbb{R}\) s'appelle l'équation caractéristique de l'équation: \(y'' + ay' + by = 0\).
• Le nombre \(\Delta = a^2 - 4b\) s'appelle le discriminant de l'équation caractéristique.

La solution générale de l'équation différentielle \((E): y'' + ay' + by = 0\) avec \(a\) et \(b\) de \(\mathbb{R}\) dépend du signe de \(\Delta\).

1er cas: \(\Delta > 0\): Donc l'équation caractéristique a deux solutions réelles distinctes \(r_1\) et \(r_2\). D'où la solution générale de \((E)\) sont les fonctions de la forme:
\[ y(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x} \quad ; \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R} \]

2ème cas: \(\Delta = 0\): Donc l'équation caractéristique a une solution réelle double \(r_1\). D'où la solution générale de \((E)\) sont les fonctions de la forme:
\[ f(x) = (\alpha x + \beta) e^{r_1 x} \quad ; \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R} \]

3ème cas: \(\Delta < 0\): Donc l'équation caractéristique a deux solutions complexes conjuguées \(r_1 = p + qi\) et \(r_2 = p - qi\). D'où la solution générale de \((E)\) sont les fonctions de la forme:
\[ f(x) = e^{px} \left( \alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx) \right) \quad ; \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R} \]

1. Résoudre l'équation différentielle \((E): y'' - 5y' + 6y = 0\).

• L'équation caractéristique de \((E)\) est: \(r^2 - 5r + 6 = 0\) avec \(r \in \mathbb{R}\).

• On a \(\Delta = (-5)^2 - 4 \times 6 = 25 - 24 = 1 > 0\) d'où l'équation caractéristique de \((E)\) admet deux solutions réelles distinctes \(r_1 = 2\) et \(r_2 = 3\).

• Ensemble des solutions de l'équation \((E)\) sont les fonctions de la forme:
\[ f(x) = \alpha e^{2x} + \beta e^{3x} \quad \text{avec} \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R} \]

2. Résoudre l'équation différentielle \((E): y'' + y' + y = 0\).

• L'équation caractéristique de \((E)\) est: \(r^2 + r + 1 = 0\) avec \(r \in \mathbb{R}\).

• On a \(\Delta = 1^2 - 4 \times 1 = 1 - 4 = -3 < 0\) d'où l'équation caractéristique de \((E)\) admet deux solutions complexes conjuguées:
\[ r_1 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{et} \quad r_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} \]

• Ensemble des solutions de l'équation \((E)\) sont les fonctions de la forme:
\[ f(x) = e^{-\frac{1}{2}x} \left( \alpha \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) + \beta \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}x\right) \right) \quad \text{avec} \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R} \]

3. Résoudre l'équation différentielle \((E): y'' - 4y' + 4y = 0\).

• L'équation caractéristique de \((E)\) est: \(r^2 - 4r + 4 = 0\) avec \(r \in \mathbb{R}\). (On a \((r - 2)^2 = 0\))

• On a \(\Delta = (-4)^2 - 4 \times 4 = 16 - 16 = 0\) d'où l'équation caractéristique de \((E)\) admet une seule solution réelle double \(r_1 = 2\).

• Ensemble des solutions de l'équation \((E)\) sont les fonctions de la forme:
\[ f(x) = (\alpha x + \beta) e^{2x} \quad \text{avec} \quad \alpha, \beta \in \mathbb{R} \]

Type d'équation	Forme générale	Solution générale
Premier ordre	\(y' = ay + b\) \((a \neq 0)\)	\(f(x) = \alpha e^{ax} - \frac{b}{a}\)
Premier ordre	\(y' = 0\)	\(f(x) = \alpha\)
Premier ordre	\(y' = b\) \((b \neq 0)\)	\(f(x) = bx + \alpha\)
Second ordre \((\Delta > 0)\)	\(y'' + ay' + by = 0\)	\(f(x) = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x}\)
Second ordre \((\Delta = 0)\)	\(y'' + ay' + by = 0\)	\(f(x) = (\alpha x + \beta) e^{r_1 x}\)
Second ordre \((\Delta < 0)\)	\(y'' + ay' + by = 0\)	\(f(x) = e^{px}(\alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx))\)

Pour déterminer les constantes \(\alpha\) et \(\beta\), on utilise les conditions initiales données dans l'énoncé.

Exemple: Si on donne \(f(0) = 1\) et \(f'(0) = 2\), on substitue ces valeurs dans la solution générale et sa dérivée pour trouver \(\alpha\) et \(\beta\).

Pour vérifier qu'une fonction est solution d'une équation différentielle:

1. Calculer la dérivée (ou les dérivées) de la fonction.
2. Substituer dans l'équation différentielle.
3. Vérifier que l'égalité est satisfaite pour tout \(x\) du domaine.