Calcul intégral

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $[a,b]$.

Le nombre $F(b) - F(a)$ est appelé intégrale de $f$ de $a$ à $b$, on note:

$$\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a) = \left[F(x)\right]_{a}^{b}$$

On lit: "intégrale de $a$ à $b$ de $f(x)dx$".

Dans l'écriture $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx$, on peut remplacer la variable $x$ par les variables $y$, $z$ ou $t$, donc:

$$\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(y)dy = \int_{a}^{b} f(z)dz = \int_{a}^{b} f(t)dt$$

Exemple 1: Calculons $\displaystyle\int_{0}^{1} (x^2 - 2x)dx$

$$\int_{0}^{1} (x^2 - 2x)dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1}{3} - 1\right) - (0 - 0) = -\frac{2}{3}$$

Exemple 2: Calculons $\displaystyle\int_{1}^{0} (x^2 - 2x)dx$

$$\int_{1}^{0} (x^2 - 2x)dx = \left[\frac{x^3}{3} - x^2\right]_{1}^{0} = (0 - 0) - \left(\frac{1}{3} - 1\right) = \frac{2}{3}$$

Exemple 3: Calculons $\displaystyle\int_{1}^{1+e} \frac{4}{x-1}dx$

$$\int_{1}^{1+e} \frac{4}{x-1}dx = \left[4\ln|x-1|\right]_{1}^{1+e} = 4\ln(1+e-1) - 4\ln(1-1) = 4\ln(e) = 4$$

On remarque que:

• $\displaystyle\int_{0}^{1} (x^2 - 2x)dx = -\int_{1}^{0} (x^2 - 2x)dx$
• $\displaystyle\int_{1}^{1+e} \frac{4}{x-1}dx = 4$

Soit $f$ une fonction dérivable sur un segment $[a,b]$ et sa fonction dérivée $f'$ est continue sur $[a,b]$, on a:

• $\displaystyle\int_{a}^{b} f'(x)dx = \left[f(x)\right]_{a}^{b} = f(b) - f(a)$
• $\displaystyle\int_{a}^{b} cdx = c(b-a)$, avec $c \in \mathbb{R}$

Exemple 1:

$$\int_{0}^{1} (x^2 - 2x)'dx = \left[x^2 - 2x\right]_{0}^{1} = (1 - 2) - (0 - 0) = -1$$

Exemple 2:

$$\int_{3}^{5} 7dx = 7(5-3) = 14$$

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$, on a:

• $\displaystyle\int_{a}^{a} f(x)dx = 0$
• $\displaystyle\int_{b}^{a} f(x)dx = -\int_{a}^{b} f(x)dx$
• $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx$ avec $a \leq c \leq b$ (relation de Chasles)

Exemple 1:

$$\int_{5}^{5} (x^2 - 2x)dx = 0$$

Exemple 2:

$$\int_{0}^{1} (x^2 - 2x)dx = -\int_{1}^{0} (x^2 - 2x)dx$$

Exemple 3: Calculons $\displaystyle\int_{0}^{3} |x-1|dx$

$$\int_{0}^{3} |x-1|dx = \int_{0}^{1} |x-1|dx + \int_{1}^{3} |x-1|dx$$

Car $|x-1| = 1-x$ sur $[0,1]$ et $|x-1| = x-1$ sur $[1,3]$

$$= \int_{0}^{1} (1-x)dx + \int_{1}^{3} (x-1)dx$$ $$= \left[x - \frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} + \left[\frac{x^2}{2} - x\right]_{1}^{3}$$ $$= \left(1 - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{9}{2} - 3\right) - \left(\frac{1}{2} - 1\right) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$

Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un segment $[a,b]$, on a:

• $\displaystyle\int_{a}^{b} (f+g)(x)dx = \int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{a}^{b} g(x)dx$
• $\displaystyle\int_{a}^{b} (\alpha f)(x)dx = \alpha\int_{a}^{b} f(x)dx$, avec $\alpha \in \mathbb{R}$

Exemple 1:

On pose: $A = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx$ et $B = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx$

1. Calculons $A+B$ et $A-B$:

$$A + B = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2 x + \sin^2 x)dx$$ $$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1dx = \left[x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$$ $$A - B = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 x dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos^2 x - \sin^2 x)dx$$ $$= \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(2x)dx = \left[\frac{\sin(2x)}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2}(\sin(\pi) - \sin(0)) = 0$$

2. Déduisons les valeurs de $A$ et $B$:

$$\begin{cases} A + B = \frac{\pi}{2} \\ A - B = 0 \end{cases} \Rightarrow A = B = \frac{\pi}{4}$$

Conclusion: $A = B = \dfrac{\pi}{4}$

Exemple 2: Montrer que $\displaystyle\int_{2}^{5} \ln(x+1)dx \leq \int_{2}^{5} \ln(x+3)dx$

Sachant que: $1 \leq 3 \Rightarrow x+1 \leq x+3 \Rightarrow \ln(x+1) \leq \ln(x+3)$

Donc: $\displaystyle\int_{2}^{5} \ln(x+1)dx \leq \int_{2}^{5} \ln(x+3)dx$

Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$ avec $a < b$.

• Il existe au moins un élément $c$ de $[a,b]$ tel que: $(b-a) \times f(c) = \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx$
• Le nombre $\displaystyle f(c) = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)dx$ s'appelle la valeur moyenne de $f$ sur $[a,b]$

Soit $f(x) = 3x$. Déterminons la valeur moyenne de $f$ sur $[0,2]$:

$$f(c) = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x)dx = \frac{1}{2-0} \int_{0}^{2} 3xdx$$ $$= \frac{1}{2} \left[\frac{3x^2}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{1}{2} \times \frac{3 \times 4}{2} = 3$$

Conclusion: La valeur moyenne de $f$ sur $[0,2]$ est $f(c) = 3$

Soient $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur $[a,b]$ dont les dérivées $u'$ et $v'$ sont continues sur $[a,b]$, on a:

$$\int_{a}^{b} u(x)v'(x)dx = \left[u(x)v(x)\right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x)dx$$

Signe	Fonction à dériver	Fonction à intégrer
+	$u(x)$	$v'(x)$
-	$u'(x)$	$v(x)$

Exemple 1: Calculons $I = \displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos x dx$ en utilisant une intégration par parties.

On pose:

• $u(x) = x \Rightarrow u'(x) = 1$
• $v'(x) = \cos x \Rightarrow v(x) = \sin x$

D'où:

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\cos x dx = \left[x\sin x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \times \sin x dx$$ $$= \left[\frac{\pi}{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - 0\sin(0)\right] - \left[-\cos x\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$ $$= \frac{\pi}{2} - \left(-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0)\right) = \frac{\pi}{2} - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1$$

Conclusion: $I = \dfrac{\pi}{2} - 1$

Exemple 2: Calculons $J = \displaystyle\int_{1}^{e} x\ln x dx$ en utilisant l'intégration par parties.

On pose:

• $u(x) = \ln x \Rightarrow u'(x) = \dfrac{1}{x}$
• $v'(x) = x \Rightarrow v(x) = \dfrac{x^2}{2}$

D'où:

$$\int_{1}^{e} x\ln x dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln x\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \times \frac{x^2}{2} dx$$ $$= \left(\frac{e^2}{2}\ln e - \frac{1}{2}\ln 1\right) - \int_{1}^{e} \frac{x}{2} dx$$ $$= \frac{e^2}{2} - \left[\frac{x^2}{4}\right]_{1}^{e} = \frac{e^2}{2} - \left(\frac{e^2}{4} - \frac{1}{4}\right)$$ $$= \frac{e^2}{2} - \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}$$

Conclusion: $J = \dfrac{e^2 + 1}{4}$

Unité d'aire (unité de surface):

• Le plan $(P)$ est rapporté à un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$
• On pose $OI = \vec{i}$ et $OJ = \vec{j}$ et le point $K$ tel que $OIKJ$ est un parallélogramme
• On considère la surface du parallélogramme $OIKJ$ comme unité d'aire, on la note $1$ u.a

L'aire $\mathcal{F}$: C'est la partie du plan $(P)$ comprise entre la courbe $(C_f)$ et l'axe des abscisses.

• $\mathcal{F}$ est la partie du plan $(P)$ comprise entre la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$
• On désigne par $A$ la surface de la partie $\mathcal{F}$ du plan $(P)$

Remarque: La surface $A$ se calcule par l'intégrale $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx$ et dépend du signe de $f(x)$

Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ et $(C_f)$ la courbe de $f$ dans le plan $(P)$ rapporté à un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j})$.

L'aire $S$ (la surface) de la partie $\mathcal{F}$ du plan $(P)$ comprise entre la courbe $(C_f)$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=a$ et $x=b$ est:

$$A = \left|\int_{a}^{b} f(x)dx\right| \times \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\| \text{ (unité d'aire)}$$

Cas	Condition	Formule de l'aire
Fonction positive	$f(x) \geq 0$ sur $[a,b]$	$A = \displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx \times \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\|$ u.a
Fonction négative	$f(x) \leq 0$ sur $[a,b]$	$A = -\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx \times \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\|$ u.a
Fonction change de signe	$f(x)$ change de signe sur $[a,b]$	$A = \displaystyle\int_{a}^{c} f(x)dx - \int_{c}^{b} f(x)dx$ u.a
Fonction paire	$f$ paire sur $[-a,a]$, positive sur $[0,a]$	$\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx$ u.a
Fonction impaire	$f$ impaire sur $[-a,a]$	$\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)dx = 0$
Entre deux courbes	Domaine entre $(C_f)$ et $(C_g)$	$A = \displaystyle\int_{a}^{b} |f(x) - g(x)|dx \times \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\|$ u.a

• L'espace est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$
• $(C_f)$ la courbe d'une fonction continue sur $[a,b]$ avec $a < b$
• On suppose que $(C_f)$ tourne autour de l'axe des abscisses de 360°, la forme obtenue s'appelle le solide de révolution

L'espace est muni d'un repère orthogonal $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.

$(C_f)$ la courbe de $f$ est une fonction continue sur $[a,b]$ avec $a < b$.

Le solide de révolution obtenu par la rotation de la courbe $(C_f)$ de la fonction $f$ sur $[a,b]$ autour de l'axe des abscisses de 360° a pour volume $V$:

$$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx \times \|\vec{i}\| \times \|\vec{j}\| \times \|\vec{k}\| \text{ (unité de volume)}$$

Exemple 1: On considère la fonction $f(x) = x+5$ sur $[-1,2]$

Calcul du volume du solide de révolution:

$$V = \pi \int_{-1}^{2} (x+5)^2 dx$$ $$= \pi \left[\frac{(x+5)^3}{3}\right]_{-1}^{2} = \pi \left(\frac{7^3}{3} - \frac{4^3}{3}\right)$$ $$= \pi \left(\frac{343}{3} - \frac{64}{3}\right) = \frac{279\pi}{3} = 93\pi \text{ cm}^3$$

Conclusion: Le volume du solide de révolution est $V = 93\pi$ cm³

Exemple 2: On considère la fonction $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ sur $[-1,1]$

Calcul du volume du solide de révolution:

$$V = \pi \int_{-1}^{1} (\sqrt{1-x^2})^2 dx = \pi \int_{-1}^{1} (1-x^2)dx$$ $$= \pi \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \pi \left(\left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right)\right)$$ $$= \pi \left(\frac{2}{3} + \frac{2}{3}\right) = \frac{4\pi}{3} \text{ cm}^3$$

Conclusion: Le volume du solide de révolution est $V = \dfrac{4\pi}{3}$ cm³

Remarque:

• C'est le volume d'une boule de rayon $R=1$
• Si on prend la fonction $f(x) = \sqrt{R^2 - x^2}$ sur $[-R,R]$ avec $R > 0$, on obtient le volume d'une boule de rayon $R > 0$:

$$V = \frac{4}{3}\pi R^3$$

Concept	Formule
Définition de l'intégrale	$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$
Relation de Chasles	$\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx$
Linéarité	$\displaystyle\int_{a}^{b} (\alpha f + \beta g)(x)dx = \alpha\int_{a}^{b} f(x)dx + \beta\int_{a}^{b} g(x)dx$
Valeur moyenne	$\displaystyle f(c) = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)dx$
Intégration par parties	$\displaystyle\int_{a}^{b} u(x)v'(x)dx = [u(x)v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x)v(x)dx$
Aire sous la courbe	$\displaystyle A = \left|\int_{a}^{b} f(x)dx\right|$ u.a
Volume de révolution	$\displaystyle V = \pi\int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$ u.v