La géométrie dans l'espace
I. PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE
A. Définition
DÉFINITION:
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace $(\mathcal{E})$.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points de $(\mathcal{E})$ tels que: $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$.
$H$ est la projection orthogonale de $C$ sur la droite $(AB)$.
Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est noté par $\vec{u}.\vec{v}$ ou $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ tel que:
1er cas: Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre:
$$\vec{u}.\vec{v} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB \times AH$$
2ème cas: Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre:
$$\vec{u}.\vec{v} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = -AB \times AH$$
Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$ on a $\vec{u}.\vec{v} = 0$.
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non nuls de l'espace $(\mathcal{E})$.
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points de $(\mathcal{E})$ tels que: $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{AC}$.
$H$ est la projection orthogonale de $C$ sur la droite $(AB)$.
Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est noté par $\vec{u}.\vec{v}$ ou $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ tel que:
1er cas: Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre:
$$\vec{u}.\vec{v} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB \times AH$$
2ème cas: Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est le nombre:
$$\vec{u}.\vec{v} = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = -AB \times AH$$
Si $\vec{u} = \vec{0}$ ou $\vec{v} = \vec{0}$ on a $\vec{u}.\vec{v} = 0$.
B. Remarques
- $\vec{u}.\vec{u} = \|\vec{u}\|^2$ est le carré scalaire de $\vec{u}$ et est toujours positif.
- $\|\vec{u}\| = \|\overrightarrow{AB}\|$ est la norme du vecteur $\overrightarrow{AB}$ on note: $\|\vec{u}\|^2 = \vec{u}.\vec{u} = \|\overrightarrow{AB}\|^2$.
- $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}.\vec{v} = 0$.
- $\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u}, \vec{v}) = \vec{u}.\vec{v}$ ou $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \times \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.
- $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires $\Leftrightarrow |\vec{u}.\vec{v}| = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|$.
C. Propriétés
Soient $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de l'espace $(\mathcal{E})$ et $\alpha \in \mathbb{R}$ on a:
- $\|\vec{u}\|^2 = \vec{u}.\vec{u}$
- Symétrie du produit scalaire: $\vec{u}.\vec{v} = \vec{v}.\vec{u}$
- Positivité du produit scalaire: $\vec{u}.\vec{u} = \|\vec{u}\|^2 \geq 0$
- Non dégénéré: $\vec{u}.\vec{u} = 0 \Leftrightarrow \vec{u} = \vec{0}$
- Linéarité du produit scalaire:
- $\vec{u}.(\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}.\vec{v} + \vec{u}.\vec{w}$
- $(\vec{v} + \vec{w}).\vec{u} = \vec{v}.\vec{u} + \vec{w}.\vec{u}$
- $(\alpha\vec{u}).\vec{v} = \alpha(\vec{u}.\vec{v}) = \vec{u}.(\alpha\vec{v})$
- $(\vec{u} + \vec{v})^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\vec{u}.\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ et $(\vec{u} - \vec{v})^2 = \|\vec{u}\|^2 - 2\vec{u}.\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$ et $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 - \|\vec{u} - \vec{v}\|^2 = 4\vec{u}.\vec{v}$
D. Application
EXEMPLE: Soit $ABCD$ un tétraèdre de faces régulières (chaque face est un triangle équilatéral de côté $a$ pour longueur).
Montrer que deux côtés opposés sont orthogonaux (exemple le côté opposé de $[AB]$ est le côté $[DC]$).
Correction:
On montre que: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0$.
On a:
$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = a \times a \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{a^2}{2} \quad (1)$$ $$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = AB \times AD \times \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = a \times a \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{a^2}{2} \quad (2)$$ D'où:
$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = 0$$ Conclusion: $(AB) \perp (CD)$. (De la même façon on démontre que: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD} = 0$ et $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 0$)
Montrer que deux côtés opposés sont orthogonaux (exemple le côté opposé de $[AB]$ est le côté $[DC]$).
Correction:
On montre que: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = 0$.
On a:
$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = AB \times AC \times \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = a \times a \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{a^2}{2} \quad (1)$$ $$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} = AB \times AD \times \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = a \times a \times \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{a^2}{2} \quad (2)$$ D'où:
$$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} = 0$$ Conclusion: $(AB) \perp (CD)$. (De la même façon on démontre que: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{AD} = 0$ et $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 0$)
II. BASE ET REPÈRE ORTHONORMÉ
A. Rappel
Soit $(\mathcal{E})$ rapporté à une base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.
$\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$ et $\vec{w}(x'', y'', z'')$ trois vecteurs de $(\mathcal{E})$.
Le déterminant des vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ dans cet ordre est le nombre: $$\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} x & x' & x'' \\ y & y' & y'' \\ z & z' & z'' \end{vmatrix} = x(y'z'' - y''z') - y(x'z'' - x''z') + z(x'y'' - x''y')$$
$\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0$.
$\vec{u}(x, y, z)$ et $\vec{v}(x', y', z')$ et $\vec{w}(x'', y'', z'')$ trois vecteurs de $(\mathcal{E})$.
Le déterminant des vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ dans cet ordre est le nombre: $$\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} x & x' & x'' \\ y & y' & y'' \\ z & z' & z'' \end{vmatrix} = x(y'z'' - y''z') - y(x'z'' - x''z') + z(x'y'' - x''y')$$
$\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ sont coplanaires si et seulement si $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0$.
B. Exemple
$\vec{u}(1, 2, 3)$ et $\vec{v}(2, 0, 1)$ et $\vec{w}(-1, 0, 3)$ on a:
$$\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(0 \times 3 - 0 \times 1) - 2(2 \times 3 - 0 \times 3) + (-1)(2 \times 1 - 0 \times 3) = -14$$ D'où: $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \neq 0$
Conclusion:
$$\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(0 \times 3 - 0 \times 1) - 2(2 \times 3 - 0 \times 3) + (-1)(2 \times 1 - 0 \times 3) = -14$$ D'où: $\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \neq 0$
Conclusion:
- $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ne sont pas coplanaires donc le triplet $(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est une base de l'espace $(\mathcal{E})$.
- On prend un point $O$ de l'espace $(\mathcal{E})$ le quadruplet $(O, \vec{u}, \vec{v}, \vec{w})$ est un repère de l'espace $(\mathcal{E})$.
C. Définitions
- $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est une base de l'espace $(\mathcal{E})$ équivaut à $\vec{i}$, $\vec{j}$ et $\vec{k}$ ne sont pas coplanaires $\det(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}) \neq 0$.
- Prenons un point $O$ de l'espace $(\mathcal{E})$ le quadruplet $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est appelé repère de $(\mathcal{E})$.
- Si $\vec{k}.\vec{j} = \vec{k}.\vec{i} = \vec{j}.\vec{i} = 0$ et $\|\vec{j}\| = \|\vec{i}\| = \|\vec{k}\| = 1$ alors:
- La base $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est une base orthonormée.
- Le repère $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ est un repère orthonormé.
- Le reste de ce chapitre, on considère l'espace $(\mathcal{E})$ est muni d'un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$.
III. EXPRESSION ANALYTIQUE DE $\vec{u}.\vec{v}$
A. Propriété
- Le produit scalaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est: $$\vec{u}.\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} = xx' + yy' + zz'$$
- La norme du vecteur $\vec{u}$ est: $$\|\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u}.\vec{u}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$
- La distance $AB$ est: $$AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$$
B. Application
$\vec{u}(1, 2, 3)$ et $\vec{v}(5, 7, 4)$ deux vecteurs de $(\mathcal{E})$.
Calculons: $\vec{u}.\vec{v}$ et $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$ et $AB$.
Correction:
Calculons: $\vec{u}.\vec{v}$ et $\|\vec{u}\|$ et $\|\vec{v}\|$ et $AB$.
Correction:
- $$\vec{u}.\vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 5 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} = 1 \times 5 + 2 \times 7 + 3 \times 4 = 31$$
- $$\|\vec{u}\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{14} \quad \text{et} \quad \|\vec{v}\| = \sqrt{5^2 + 7^2 + 4^2} = \sqrt{90}$$
- $$AB = \sqrt{(5-1)^2 + (7-2)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{16 + 25 + 1} = \sqrt{42}$$
IV. ENSEMBLE DES POINTS $M(x, y, z)$ TEL QUE: $\overrightarrow{AM}.\vec{u} = k$
A. Propriété
$A(x_A, y_A, z_A)$ est un point et $\vec{u}(a, b, c)$ avec $\vec{u} \neq \vec{0}$ de $(\mathcal{E})$ et $k \in \mathbb{R}$.
L'ensemble des points $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ tel que $\vec{u}.\overrightarrow{AM} = k$ est un plan $(\mathcal{P})$ d'équation de la forme:
$$ax + by + cz + d = 0$$
L'ensemble des points $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ tel que $\vec{u}.\overrightarrow{AM} = k$ est un plan $(\mathcal{P})$ d'équation de la forme:
$$ax + by + cz + d = 0$$
B. Application
Soient $A(1, 1, 1)$ et $\vec{u}(0, 1, 0)$.
1. On détermine $(\mathcal{P})$ ensemble des points $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ tel que $\vec{u}.\overrightarrow{AM} = 0$.
Correction:
On a: $$M(x, y, z) \in (\mathcal{P}) \Leftrightarrow \vec{u}.\overrightarrow{AM} = 0$$ $$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 1 \\ z - 1 \end{pmatrix} = 0$$ $$\Leftrightarrow 0(x - 1) + 1(y - 1) + 0(z - 1) = 0 \Leftrightarrow y - 1 = 0$$ Conclusion: L'ensemble des points $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ tel que $\vec{u}.\overrightarrow{AM} = 0$ est le plan d'équation $(\mathcal{P}): y = 1$.
1. On détermine $(\mathcal{P})$ ensemble des points $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ tel que $\vec{u}.\overrightarrow{AM} = 0$.
Correction:
On a: $$M(x, y, z) \in (\mathcal{P}) \Leftrightarrow \vec{u}.\overrightarrow{AM} = 0$$ $$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} x - 1 \\ y - 1 \\ z - 1 \end{pmatrix} = 0$$ $$\Leftrightarrow 0(x - 1) + 1(y - 1) + 0(z - 1) = 0 \Leftrightarrow y - 1 = 0$$ Conclusion: L'ensemble des points $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ tel que $\vec{u}.\overrightarrow{AM} = 0$ est le plan d'équation $(\mathcal{P}): y = 1$.
V. PLAN DÉTERMINÉ PAR UN POINT ET UN VECTEUR NORMAL
01. Vecteur normal à un plan
a. Définition:
Tout vecteur $\vec{n}$ non nul sa direction est perpendiculaire au plan $(\mathcal{P})$ s'appelle vecteur normal au plan $(\mathcal{P})$.
b. Remarques:
Tout vecteur $\vec{n}$ non nul sa direction est perpendiculaire au plan $(\mathcal{P})$ s'appelle vecteur normal au plan $(\mathcal{P})$.
b. Remarques:
- $\vec{n}$ est normal au plan $(\mathcal{P})(A, \vec{u}, \vec{v})$ alors $\vec{n} \perp \vec{u}$ et $\vec{n} \perp \vec{v}$.
- Si $\vec{n}$ est normal au plan $(\mathcal{P})$ et passe par $A$ le plan $(\mathcal{P})$ est noté par $(\mathcal{P})(A, \vec{n})$.
02. Ensemble des points $M(x, y, z)$ tel que $ax + by + cz + d = 0$
a. Propriété:
L'ensemble des points $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ qui vérifie $ax + by + cz + d = 0$ avec $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$ est le plan et le vecteur non nul $\vec{n}(a, b, c)$ est un vecteur normal à ce plan.
b. Application:
Que représente l'ensemble des points $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ qui vérifie $x + 2y - z + 4 = 0$ ?
Réponse: L'ensemble des points $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ est le plan $(\mathcal{P})$ tel que:
L'ensemble des points $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ qui vérifie $ax + by + cz + d = 0$ avec $(a, b, c) \neq (0, 0, 0)$ est le plan et le vecteur non nul $\vec{n}(a, b, c)$ est un vecteur normal à ce plan.
b. Application:
Que représente l'ensemble des points $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ qui vérifie $x + 2y - z + 4 = 0$ ?
Réponse: L'ensemble des points $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ est le plan $(\mathcal{P})$ tel que:
- Le vecteur $\vec{n}(1, 2, -1)$ est normal à $(\mathcal{P})$.
- Le plan $(\mathcal{P})$ passe par le point $A(0, 0, 4)$.
- Donc $(\mathcal{P}) = (\mathcal{P})(A, \vec{n})$.
03. Ensemble des points $M(x, y, z)$ tel que $\overrightarrow{AM}.\vec{n} = 0$
a. Propriété:
$\vec{n}(a, b, c) \neq \vec{0}$ est un vecteur non nul et $A(x_A, y_A, z_A)$ est un point de l'espace $(\mathcal{E})$.
L'ensemble des points $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ qui vérifie: $\overrightarrow{AM}.\vec{n} = 0$ est le plan $(\mathcal{P})$ qui passe par $A$ et le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur normal à ce plan (c.à.d. $(\mathcal{P})(A, \vec{n})$).
Le plan $(\mathcal{P})$ a pour équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$ avec $d = -(ax_A + by_A + cz_A)$.
b. Application:
On détermine une équation cartésienne du plan $(\mathcal{P})$ passant par le point $A(2, 1, -3)$ et $\vec{n}(1, 1, 2)$ est un vecteur normal à $(\mathcal{P})$.
Soit $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$.
On a: $$M(x, y, z) \in (\mathcal{P}) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\vec{n} = 0$$ $$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} x - 2 \\ y - 1 \\ z + 3 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 0$$ $$\Leftrightarrow (x - 2) \times 1 + (y - 1) \times 1 + (z + 3) \times 2 = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z + 3 = 0$$ Conclusion: Équation cartésienne de $(\mathcal{P})$ est $(\mathcal{P}): x + y + 2z + 3 = 0$.
$\vec{n}(a, b, c) \neq \vec{0}$ est un vecteur non nul et $A(x_A, y_A, z_A)$ est un point de l'espace $(\mathcal{E})$.
L'ensemble des points $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ qui vérifie: $\overrightarrow{AM}.\vec{n} = 0$ est le plan $(\mathcal{P})$ qui passe par $A$ et le vecteur $\vec{n}$ est un vecteur normal à ce plan (c.à.d. $(\mathcal{P})(A, \vec{n})$).
Le plan $(\mathcal{P})$ a pour équation cartésienne de la forme $ax + by + cz + d = 0$ avec $d = -(ax_A + by_A + cz_A)$.
b. Application:
On détermine une équation cartésienne du plan $(\mathcal{P})$ passant par le point $A(2, 1, -3)$ et $\vec{n}(1, 1, 2)$ est un vecteur normal à $(\mathcal{P})$.
Soit $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$.
On a: $$M(x, y, z) \in (\mathcal{P}) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\vec{n} = 0$$ $$\Leftrightarrow \begin{pmatrix} x - 2 \\ y - 1 \\ z + 3 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = 0$$ $$\Leftrightarrow (x - 2) \times 1 + (y - 1) \times 1 + (z + 3) \times 2 = 0 \Leftrightarrow x + y + 2z + 3 = 0$$ Conclusion: Équation cartésienne de $(\mathcal{P})$ est $(\mathcal{P}): x + y + 2z + 3 = 0$.
VI. DISTANCE D'UN POINT À UN PLAN
A. Définition
$(\mathcal{P})$ est un plan et $A$ est un point de l'espace $(\mathcal{E})$ et $H$ est la projection orthogonale de $A$ sur le plan $(\mathcal{P})$.
La distance du point $A$ au plan $(\mathcal{P})$ est $AH$ et on note $AH = d(A, (\mathcal{P}))$.
La distance du point $A$ au plan $(\mathcal{P})$ est $AH$ et on note $AH = d(A, (\mathcal{P}))$.
B. Propriété
$(\mathcal{P})$ est un plan et $A(x_A, y_A, z_A)$ est un point de l'espace $(\mathcal{E})$ tel que $(\mathcal{P})$ a pour équation $(\mathcal{P}): ax + by + cz + d = 0$.
La distance du point $A$ au plan $(\mathcal{P})$ est: $$AH = d(A, (\mathcal{P})) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
La distance du point $A$ au plan $(\mathcal{P})$ est: $$AH = d(A, (\mathcal{P})) = \frac{|ax_A + by_A + cz_A + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}$$
C. Application
On considère le plan d'équation $(\mathcal{P}): x + 3y - 5z + 1 = 0$.
1. Est-ce que: $A(1, 1, 1) \in (\mathcal{P})$ ?
On a: $1 + 3 \times 1 - 5 \times 1 + 1 = 1 + 3 - 5 + 1 = 0$
D'où: $A(1, 1, 1) \in (\mathcal{P})$.
2. Donner la distance $d(A, (\mathcal{P}))$.
Puisque $A(1, 1, 1) \in (\mathcal{P})$ donc la projection orthogonale de $A$ sur le plan $(\mathcal{P})$ est $H = A$.
Donc $AH = AA = 0$ donc $d(A, (\mathcal{P})) = 0$.
Conclusion: La distance $d(A, (\mathcal{P})) = 0$.
1. Est-ce que: $A(1, 1, 1) \in (\mathcal{P})$ ?
On a: $1 + 3 \times 1 - 5 \times 1 + 1 = 1 + 3 - 5 + 1 = 0$
D'où: $A(1, 1, 1) \in (\mathcal{P})$.
2. Donner la distance $d(A, (\mathcal{P}))$.
Puisque $A(1, 1, 1) \in (\mathcal{P})$ donc la projection orthogonale de $A$ sur le plan $(\mathcal{P})$ est $H = A$.
Donc $AH = AA = 0$ donc $d(A, (\mathcal{P})) = 0$.
Conclusion: La distance $d(A, (\mathcal{P})) = 0$.
VII. PARALLÉLISME ET ORTHOGONALITÉ DES DROITES ET DES PLANS
01. Parallélisme et orthogonalité de deux plans
$(\mathcal{P}_1): ax + by + cz + d = 0$ et $(\mathcal{P}_2): a'x + b'y + c'z + d' = 0$
| Relation | Condition |
|---|---|
| $(\mathcal{P}_1) \parallel (\mathcal{P}_2)$ | $\vec{n}$ et $\vec{n}'$ sont colinéaires $\Leftrightarrow \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}$ (non nuls) |
| $(\mathcal{P}_1) \perp (\mathcal{P}_2)$ | $\vec{n}.\vec{n}' = 0 \Leftrightarrow aa' + bb' + cc' = 0$ |
02. Parallélisme et orthogonalité d'une droite et un plan
$(\mathcal{P})(B, \vec{n})$ et $(\mathcal{D})(A, \vec{u})$ et $(\mathcal{P}): ax + by + cz + d = 0$
| Relation | Condition |
|---|---|
| $(\mathcal{D}) \parallel (\mathcal{P})$ | $\vec{n}.\vec{u} = 0$ |
| $(\mathcal{D}) \perp (\mathcal{P})$ | $\vec{n}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires |
VIII. ÉTUDE ANALYTIQUE DE LA SPHÈRE
01. Sphère
a. Définition:
$\Omega$ est un point donné de l'espace $(\mathcal{E})$ et $R > 0$.
L'ensemble des points $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ tel que $\Omega M = R$ s'appelle la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$ on note $(\mathcal{S})$ ou $(\mathcal{S})(\Omega, R)$.
$\Omega$ est un point donné de l'espace $(\mathcal{E})$ et $R > 0$.
L'ensemble des points $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ tel que $\Omega M = R$ s'appelle la sphère de centre $\Omega$ et de rayon $R$ on note $(\mathcal{S})$ ou $(\mathcal{S})(\Omega, R)$.
02. Équation cartésienne d'une sphère
a. Définition propriété:
Équation cartésienne de $(\mathcal{S})(\Omega(a, b, c), R)$ est:
$$M(x, y, z) \in (\mathcal{S}) \Leftrightarrow \Omega M = R \quad \text{ou} \quad (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$ ou bien: $$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 \quad \text{avec} \quad d = a^2 + b^2 + c^2 - R^2$$
Équation cartésienne de $(\mathcal{S})(\Omega(a, b, c), R)$ est:
$$M(x, y, z) \in (\mathcal{S}) \Leftrightarrow \Omega M = R \quad \text{ou} \quad (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$$ ou bien: $$x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 \quad \text{avec} \quad d = a^2 + b^2 + c^2 - R^2$$
03. Équation cartésienne de la sphère déterminée par un diamètre $[AB]$
a. Définition:
$\Omega$ est le milieu de $[AB]$; $[AB]$ est un diamètre de la sphère $(\mathcal{S})$ donc $A$ et $B$ appartiennent à $(\mathcal{S})$.
On dit la sphère de diamètre $[AB]$ on note $(\mathcal{S})$ ou $(\mathcal{S})_{[AB]}$.
b. Propriété:
Équation cartésienne de $(\mathcal{S})_{[AB]}$ est: $$M(x, y, z) \in (\mathcal{S})_{[AB]} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0$$ ou bien $(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) + (z - z_A)(z - z_B) = 0$.
$\Omega$ est le milieu de $[AB]$; $[AB]$ est un diamètre de la sphère $(\mathcal{S})$ donc $A$ et $B$ appartiennent à $(\mathcal{S})$.
On dit la sphère de diamètre $[AB]$ on note $(\mathcal{S})$ ou $(\mathcal{S})_{[AB]}$.
b. Propriété:
Équation cartésienne de $(\mathcal{S})_{[AB]}$ est: $$M(x, y, z) \in (\mathcal{S})_{[AB]} \Leftrightarrow \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MB} = 0$$ ou bien $(x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) + (z - z_A)(z - z_B) = 0$.
04. L'ensemble des $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ tel que $x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$
a. Propriété:
L'ensemble des $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ tel que $x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$ avec $a$, $b$, $c$ et $d$ de $\mathbb{R}$.
On pose $\Delta = a^2 + b^2 + c^2 - 4d$ est:
L'ensemble des $M(x, y, z)$ de $(\mathcal{E})$ tel que $x^2 + y^2 + z^2 + ax + by + cz + d = 0$ avec $a$, $b$, $c$ et $d$ de $\mathbb{R}$.
On pose $\Delta = a^2 + b^2 + c^2 - 4d$ est:
- $(\mathcal{E}) = \emptyset$ si $\Delta < 0$.
- $(\mathcal{E}) = \left\{\Omega\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}, -\frac{c}{2}\right)\right\}$ si $\Delta = 0$.
- La sphère $(\mathcal{E}) = (\mathcal{S})\left(\Omega\left(-\frac{a}{2}, -\frac{b}{2}, -\frac{c}{2}\right), R = \frac{\sqrt{\Delta}}{2}\right)$ si $\Delta > 0$.
IX. POSITIONS RELATIVES D'UNE SPHÈRE ET UN PLAN
01. Positions et les schémas et théorème
| Cas | Condition | Intersection | Schéma |
|---|---|---|---|
| 1er Cas | $d = \Omega H > R$ | $(\mathcal{P}) \cap (\mathcal{S}) = \emptyset$ | Plan et sphère disjoints |
| 2ème Cas | $d = \Omega H = R$ | $(\mathcal{P}) \cap (\mathcal{S}) = \{H\}$ | Plan tangent à la sphère en $H$ |
| 3ème Cas | $d = \Omega H < R$ | $(\mathcal{P}) \cap (\mathcal{S}) = (\mathcal{C})$ | Plan coupe la sphère suivant un cercle de centre $H$ et de rayon $R_{\mathcal{C}} = \sqrt{R^2 - d^2}$ |
02. Équation du plan tangent à une sphère
a. Théorème:
Par un point $A$ quelconque d'une sphère $(\mathcal{S})$ il existe un et un seul plan $(\mathcal{Q})$ tangent à la sphère $(\mathcal{S})$ au point $A$.
L'équation de $(\mathcal{Q})$ est: $$M \in (\mathcal{Q}) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{A\Omega} = 0$$
Par un point $A$ quelconque d'une sphère $(\mathcal{S})$ il existe un et un seul plan $(\mathcal{Q})$ tangent à la sphère $(\mathcal{S})$ au point $A$.
L'équation de $(\mathcal{Q})$ est: $$M \in (\mathcal{Q}) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{A\Omega} = 0$$
X. POSITIONS RELATIVES D'UNE SPHÈRE ET UNE DROITE
01. Positions et les schémas et théorème
| Cas | Condition | Intersection | Schéma |
|---|---|---|---|
| 1er Cas | $d = \Omega H > R$ | $(\mathcal{D}) \cap (\mathcal{S}) = \emptyset$ | Droite et sphère disjointes |
| 2ème Cas | $d = \Omega H = R$ | $(\mathcal{D}) \cap (\mathcal{S}) = \{H\}$ | Droite tangente à la sphère en $H$ |
| 3ème Cas | $d = \Omega H < R$ | $(\mathcal{D}) \cap (\mathcal{S}) = \{A, B\}$ | Droite coupe la sphère en deux points $A$ et $B$ |
Remarques
- $H$ est la projection de $\Omega$ sur $(\mathcal{D})$.
- Si $(\mathcal{D}) = (\mathcal{D})(K, \vec{u})$ on a $d = \Omega H = \frac{\|\overrightarrow{K\Omega} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$ (voir chapitre produit vectoriel).