Les nombres complexes (Partie 1)

Activité :

1. On considère l'équation d'inconnue $x \in \mathbb{R}$ : $x^2 + 1 = 0$.
   Cette équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$. Ceci impose aux mathématiques d'utiliser le nombre $i$ qui n'est pas réel mais est un nombre imaginaire tel que : $i^2 = -1$.
   Les solutions sont $i$ et $-i$, mais dans un autre ensemble appelé ensemble des nombres complexes, noté $\mathbb{C}$. $\mathbb{C}$ est muni des deux opérations l'addition notée $+$ et la multiplication notée $\times$ qui ont les mêmes propriétés que l'addition et la multiplication dans $\mathbb{R}$.
2. On considère l'équation : $(E): x^2 - 2x + 2 = 0$.
   • Vérifie que l'équation $(E)$ s'écrit de la forme suivante : $(E): (x-1)^2 + 1 = 0$.
   • Vérifie que $1+i$ et $1-i$ sont solutions de $(E)$.

• Les nombres $1+i$ et $1-i$ sont appelés nombres complexes.
• En général, un nombre complexe est écrit de la forme $z = a + bi$ avec $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$.
• Le nombre complexe $z' = a - bi$ avec $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$ est appelé le nombre complexe conjugué de $z$, noté $\bar{z}$. D'où $\bar{z} = a - bi$.

Exemple : $z = 2 + 5i$ et $z' = 7 - 3i \Rightarrow \bar{z} = 2 - 5i$ et $\overline{z'} = 7 + 3i$.

• L'écriture $z = a + bi$ avec $a \in \mathbb{R}$ et $b \in \mathbb{R}$ est appelée l'écriture (ou la forme) algébrique de $z$.
• Le réel $a$ est appelé la partie réelle et on note $\text{Re}(z) = a$.
  Exemple : $\text{Re}(2 + 3i) = 2$.
• Le réel $b$ est appelé la partie imaginaire et on note $\text{Im}(z) = b$.
  Exemple : $\text{Im}(2 + 3i) = 3$.

• Un nombre complexe est un nombre tel que son écriture est de la forme $z = a + bi$ avec $a$ et $b$ de $\mathbb{R}$, $i$ est un nombre imaginaire avec $i^2 = -1$.
• Les nombres complexes constituent un ensemble appelé ensemble des nombres complexes, on note $\mathbb{C}$.
• L'ensemble $\mathbb{C}$ est muni des deux opérations l'addition notée $+$ et la multiplication notée $\times$ qui ont les mêmes propriétés que dans $\mathbb{R}$ (commutativité, associativité...).
• $a + bi = a' + b'i \iff a = a' \text{ et } b = b'$.

• Addition dans $\mathbb{C}$ : $$z + z' = (x + yi) + (x' + y'i) = (x + x') + (y + y')i$$
• Multiplication dans $\mathbb{C}$ : $$z \times z' = (x + yi) \times (x' + y'i) = (xx' - yy') + (xy' + yx')i$$
• Cas particulier $k \in \mathbb{R}$ : $$k \cdot z = k \cdot (x + yi) = kx + kyi$$
• L'inverse de $z = a + bi \neq 0$ ($a,b \neq (0,0)$) : $$\frac{1}{z} = \frac{1}{x + yi} = \frac{x - yi}{(x + yi)(x - yi)} = \frac{x - yi}{x^2 + y^2} = \frac{x}{x^2 + y^2} - \frac{y}{x^2 + y^2}i$$
• Le quotient de $z$ par $z'$ : $$\frac{z}{z'} = \frac{x + yi}{x' + y'i} = \frac{(x + yi)(x' - y'i)}{(x' + y'i)(x' - y'i)} = \frac{xx' + yy'}{x'^2 + y'^2} + \frac{yx' - xy'}{x'^2 + y'^2}i$$

• $z + z' = (1 + 5i) + (2 - 3i) = 3 + 2i$.
• $z \times z' = (1 + 5i) \times (2 - 3i) = 1\times2 + 1\times(-3i) + 5i\times2 + 5i\times(-3i) = 2 - 3i + 10i - 15i^2 = 2 + 7i + 15 = 17 + 7i$.
• $-3 \times z = -3 \times (1 + 5i) = -3 - 15i$.
• $(2 + 3i) \times (2 - 3i) = 2^2 + 3^2 = 13$.
• $\frac{1}{z'} = \frac{1}{2 - 3i} = \frac{2 + 3i}{(2 - 3i)(2 + 3i)} = \frac{2 + 3i}{2^2 + 3^2} = \frac{2}{13} + \frac{3}{13}i$.
• $\frac{z}{z'} = \frac{1 + 5i}{2 - 3i} = \frac{(1 + 5i)(2 + 3i)}{13} = \frac{2 + 3i + 10i - 15}{13} = \frac{-13 + 13i}{13} = -1 + i$.

• $(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + b^2i^2 = a^2 - b^2 + 2abi$.
• $(a - bi)^2 = a^2 - 2abi + b^2i^2 = a^2 - b^2 - 2abi$.
• $(a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 + b^2$.

• À tout nombre complexe $z = x + yi$ de $\mathbb{C}$ on lui associe le point $M$ de $(P)$ càd : $$f: \mathbb{C} \to P$$ $$f(x+yi) = M(x, y) \quad (\text{ou bien } \overrightarrow{OM} = x\vec{u} + y\vec{v})$$
• Dans ce cas :
  • Le plan $(P)$ est appelé le plan complexe.
  • Le point $M(x, y)$ est l'image du complexe $z = x + yi$.
  • On note $M(z)$ ou $M(x+yi)$, on lit "le point $M$ d'affixe $z$". De même pour le vecteur $\overrightarrow{OM}$.
  • On note aussi $z_M$, on lit "$z$ est l'affixe de $M$". De même pour $z_{\overrightarrow{OM}}$.
  • Si $z = a \in \mathbb{R}$ alors $M$ est sur l'axe des abscisses sera nommé axe réel.
  • Si $z = bi, b \in \mathbb{R}$ alors $M$ est sur l'axe des ordonnées sera nommé axe imaginaire.

• Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $z_B - z_A$.
• Le vecteur $k\overrightarrow{AB}$ a pour affixe $k(z_B - z_A)$.
• Le point $I$ milieu de $[A, B]$ a pour affixe $z_I = \frac{z_A + z_B}{2}$.
• $\overrightarrow{AC} = k\overrightarrow{AB}; k \in \mathbb{R} \iff z_C - z_A = k(z_B - z_A)$ ou bien $\frac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = k \in \mathbb{R}$.
  D'où les points $A, B$ et $C$ sont alignés (avec $z_B - z_A \neq 0$).

Le nombre complexe $\bar{z} = x - yi$ est appelé le conjugué du nombre complexe $z = x + yi$. On note $\bar{z} = x - yi$.

• $z = 1 + 5i \Rightarrow \bar{z} = 1 - 5i$.
• $z = -1 - 3i \Rightarrow \bar{z} = -1 + 3i$.
• $z = 1 \Rightarrow \bar{z} = 1$.
• $z = 2i \Rightarrow \bar{z} = -2i$.
• $z = -6i \Rightarrow \bar{z} = 6i$.

• $z + \bar{z} = 2x = 2\text{Re}(z)$ et $z - \bar{z} = 2yi = 2i\text{Im}(z)$.
• $\overline{(\bar{z})} = z$ et $z \times \bar{z} = x^2 + y^2$.
• $\overline{z + z'} = \bar{z} + \overline{z'}$ et $\overline{z \times z'} = \bar{z} \times \overline{z'}$.
• $\left(\frac{1}{z'}\right) = \frac{1}{\overline{z'}}$ ($z' \neq 0$) et $\overline{\left(\frac{z}{z'}\right)} = \frac{\bar{z}}{\overline{z'}}$.
• $\overline{(z^n)} = (\bar{z})^n$ ; $n \in \mathbb{N}$ (avec $z \neq 0$ si $n \in \mathbb{Z}^-$).

• $z \in \mathbb{R} \iff z = \bar{z}$ (c.à.d. $z$ est un réel pur).
• $z \in i\mathbb{R} \iff z = -\bar{z}$ (c.à.d. $z$ est un imaginaire pur).

Soit $z = x + yi$ de $\mathbb{C}$ avec $x$ et $y$ de $\mathbb{R}$.
Le nombre réel positif $|z| = \sqrt{z\bar{z}} = \sqrt{x^2 + y^2}$ s'appelle le module de $z$.

On a : $|z| = \sqrt{x^2 + y^2} = OM$ avec $M$ d'affixe $z = x + yi$.
D'où : $AB = |z_B - z_A|$.

• $|z| = |-z| = |\bar{z}| = |-\bar{z}|$.
• $|z + z'| \leq |z| + |z'|$ (Inégalité triangulaire).
• $|z| = 0 \iff z = 0$.
• $\left|\frac{1}{z'}\right| = \frac{1}{|z'|}$ ; $\left|\frac{z}{z'}\right| = \frac{|z|}{|z'|}$ ($z' \neq 0$).
• $|z \times z'| = |z| \times |z'|$.
• $|z^n| = |z|^n$, $n \in \mathbb{Z}$ et $z \neq 0$.

• $|1+i| = |-1-i| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$.
• $|(1+i)(2+3i)| = |1+i| \times |2+3i| = \sqrt{2} \times \sqrt{13} = \sqrt{26}$.
• $\left|\frac{1+i}{2}\right| = \frac{|1+i|}{|2|} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• $|(1+i)^6| = |1+i|^6 = (\sqrt{2})^6 = 8$.

$M(z)$ ($M \neq O$ donc $z \neq 0$) est un point du plan complexe $(P)$ muni d'un repère orthonormé direct $(O, \vec{u}, \vec{v})$.
Toute mesure $\alpha$ de l'angle orienté $(\vec{u}, \overrightarrow{OM})$ s'appelle argument du nombre complexe non nul $z$.
On note : $\arg(z) \equiv \alpha [2\pi]$ ; d'où $\arg(z) = (\vec{u}, \overrightarrow{OM}) [2\pi]$ ou $\arg(z) = \alpha + 2k\pi; k \in \mathbb{Z}$.

• $z = a > 0 \Rightarrow \arg(a) \equiv 0 [2\pi]$ et $z = a < 0 \Rightarrow \arg(a) \equiv \pi [2\pi]$.
• $z = bi; b > 0 \Rightarrow \arg(bi) \equiv \frac{\pi}{2} [2\pi]$ et $z = bi; b < 0 \Rightarrow \arg(bi) \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi]$.
• $\arg(-z) \equiv \arg(z) + \pi [2\pi]$ et $\arg(\bar{z}) \equiv -\arg(z) [2\pi]$ (sans oublier $z \neq 0$).

• $\arg(z \times z') \equiv \arg(z) + \arg(z') [2\pi]$.
• $\arg(z^n) \equiv n \arg(z) [2\pi]$ ; $n \in \mathbb{Z}$.
• $\arg\left(\frac{1}{z'}\right) \equiv -\arg(z') [2\pi]$.
• $\arg\left(\frac{z}{z'}\right) \equiv \arg(z) - \arg(z') [2\pi]$.
• Si $k > 0$ alors $\arg(kz) \equiv \arg(z) [2\pi]$.
• Si $k < 0$ alors $\arg(kz) \equiv \arg(z) + \pi [2\pi]$.

Soit $z = x + yi$ un nombre complexe non nul tel que $\arg(z) \equiv \alpha [2\pi]$ et $r = |z|$.
Le nombre complexe non nul $z$ s'écrit de la forme suivante : $$z = |z|(\cos \alpha + i \sin \alpha)$$ ou $$z = \sqrt{x^2 + y^2}(\cos \alpha + i \sin \alpha)$$ ou $$z = [r, \alpha] \text{ avec } r = |z|, \alpha = \arg(z).$$ Chaque écriture précédente est appelée la forme (ou l'écriture) trigonométrique du nombre complexe non nul $z = x + yi$.

• $z = a > 0 \Rightarrow z = [a, 0]$, $z = a < 0 \Rightarrow z = [a, \pi]$.
• $z = bi; b > 0 \Rightarrow z = \left[b, \frac{\pi}{2}\right]$, $z = bi; b < 0 \Rightarrow z = \left[b, -\frac{\pi}{2}\right]$.
• Si $z = [r, \alpha]$ alors $-z = [r, \pi+\alpha]$, $\bar{z} = [r, -\alpha]$ et $-\bar{z} = [r, \pi-\alpha]$.

Opération	Forme Trigonométrique	Forme Exponentielle (Implicite)
Produit : $z \times z'$	$[r \times r', \alpha + \alpha']$	$rr'(\cos(\alpha + \alpha') + i \sin(\alpha + \alpha'))$
Puissance : $z^n$ (Formule de Moivre)	$[r^n, n\alpha]$	$r^n(\cos(n\alpha) + i \sin(n\alpha))$
Inverse : $\frac{1}{z'}$	$\left[\frac{1}{r'}, -\alpha'\right]$	$\frac{1}{r'}(\cos(-\alpha') + i \sin(-\alpha'))$
Quotient : $\frac{z}{z'}$	$\left[\frac{r}{r'}, \alpha - \alpha'\right]$	$\frac{r}{r'}(\cos(\alpha - \alpha') + i \sin(\alpha - \alpha'))$

Pour tout réel $\alpha$ et tout entier naturel $n$ : $$(\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos(n\alpha) + i \sin(n\alpha)$$

Abraham de Moivre (1667-1754), Mathématicien Français.

• Si $z = [r, \alpha] = r(\cos \alpha + i \sin \alpha)$ alors :
  • $-z = [-1] \times [r, \alpha] = [1, \pi] \times [r, \alpha] = [r, \pi + \alpha] = r(\cos(\pi + \alpha) + i \sin(\pi + \alpha))$.
  • $\bar{z} = r(\cos \alpha + i \sin \alpha) = r(\cos(-\alpha) + i \sin(-\alpha)) = [r, -\alpha]$.