Géométrie dans l’espace 2 : Produit vectoriel

Définition

Trois demi-droites [Ox), [Oy) et [Oz) de même origine O et non coplanaires déterminant, dans cet ordre un trièdre que l'on note (Ox; Oy; Oz).

• [Ox), [Oy) et [Oz) sont appelées les arêtes du trièdre (Ox; Oy; Oz).

• Les trois plan (xOy), (xOz) et (yOz) sont appelés les faces du trièdre (Ox; Oy; Oz).

  
  

Définition

Le bonhomme d'Ampère du trièdre ([OI);[OJ);[OK)) est un personnage imaginaire porté sur l'axe [OK), ses pieds sont à l'origine et regarde [OI).

• Si [OJ) est à la gauche du bonhomme d'Ampère, alors le trièdre ([OI); [OJ); [OK)) est direct.

• Si [OJ) est à la droite du bonhomme d'Ampère, alors le trièdre ([OI); [OJ); [OK)) est indirect.

  
  

Définition

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs de l'espace orienté tels que : \(\vec{u} = \overrightarrow{OA}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{OB}\). On appelle le produit vectoriel des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), dans cet ordre le vecteur noté \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) tel que :

• Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires, alors \(\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}\)

• Sinon :

  • Le vecteur \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) est orthogonal à \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

  • Le triple \((\vec{u}; \vec{v}, \vec{u} \wedge \vec{v})\) est une base directe

  • \(||\vec{u} \wedge \vec{v}|| = ||\vec{u}|| \cdot ||\vec{v}|| \cdot \sin(\theta)\) où \(\theta\) est la mesure de l'angle géométrique \(\widehat{AOB}\)

Remarque

• Les deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) de l'espace \(\mathcal{V}_3\) sont colinéaires si, et seulement si \(\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}\)

• Les points A, B et C de l'espace sont alignés si, et seulement si \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec{0}\)

Exemple

Soit \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs de l'espace tels que : \(||\vec{u}|| = 2\) et \(||\vec{v}|| = 5\) et \(\vec{u} \cdot \vec{v} = 5\).

Calculons \(||\vec{u} \wedge \vec{v}||\) :

Application

On considère, ci-dessous, le parallélépipède rectangle ABCDEFGH :

1. Montrer que \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{CD} = \vec{0}\) et \(\overrightarrow{AC} \wedge \overrightarrow{EG} = \vec{0}\)

2. Déterminer les vecteurs \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{BC}\)

Propriété

Soit A, B et C trois points non-alignés de l'espace.

• La norme du produit vectoriel de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est l'aire du parallélogramme formé par les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

• L'aire du triangle ABC est égale à : \(\frac{1}{2} ||\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}||\)

Exemple

Soit ABCD un parallélogramme tel que : \(AB = 6\) et \(AD = 4\) et \(\widehat{BAD} = \frac{\pi}{6}\).

Notant \(\mathcal{A}\) l'aire du parallélogramme ABCD (en unité d'aire), on obtient :

Application

On considère, ci-dessous, le cube ABCDEFGH de coté x :

1. Déterminer les vecteurs \(\overrightarrow{EH} \wedge \overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{CD} \wedge \overrightarrow{CA}\)

2. Déduire, en fonction de x, l'aire du parallélogramme formé à partir des vecteurs \(\overrightarrow{EH}\) et \(\overrightarrow{EF}\), et celle du triangle ACD.

Propriété

Soit \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) trois vecteurs l'espace, et \(\alpha\) un réel.

• Antisymétrie : \(\vec{u} \wedge \vec{v} = -(\vec{v} \wedge \vec{u})\)

• Bilinéarité :

  • \(\vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} \wedge \vec{v}) + (\vec{u} \wedge \vec{w})\)

  • \((\vec{v} + \vec{w}) \wedge \vec{u} = (\vec{v} \wedge \vec{u}) + (\vec{w} \wedge \vec{u})\)

  • \((\alpha\vec{u}) \wedge \vec{v} = \vec{u} \wedge (\alpha\vec{v}) = \alpha(\vec{u} \wedge \vec{v})\)

Exemple

Soit O, A, B et C des points de l'espace orienté \((\mathcal{E})\).

Montrons que : \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OA}\).

Propriété

Soit \(( \vec{i}; \vec{j}; \vec{k} )\) une base orthonormée de l'espace \(\mathcal{V}_3\).

• Pour tout vecteur \(\vec{u}(x; y; z)\) et \(\vec{v}(x'; y'; z')\) de \(\mathcal{V}_3\), on a :

  \(\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix}\vec{i} - \begin{vmatrix} x & x' \\ z & z' \end{vmatrix}\vec{j} + \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix}\vec{k} = (yz' - zy')\vec{i} - (xz' - zx')\vec{j} + (xy' - yx')\vec{k}\)

• Le vecteur \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) a pour coordonnées \((yz' - zy'; zx' - xz'; xy' - yx')\)

Exemple

On considère les vecteurs \(\vec{u} = \vec{i} - 2\vec{j} + 3\vec{k}\) et \(\vec{v} = 3\vec{i} + \vec{j} - \vec{k}\).

Déterminons les coordonnées du vecteur \(\vec{u} \wedge \vec{v}\) dans la base \(( \vec{i}; \vec{j}; \vec{k} )\) :

Application

Soit A(1; 2; 1), B(0; -3; 2) et C(1; 0; -1) trois points de l'espace.

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{BA} \wedge \overrightarrow{CB}\) et \(-2\overrightarrow{BA} \wedge 3\overrightarrow{BC}\)

2. Déduire l'aire du triangle ABC

Propriété

Soit A, B et C trois points non alignés de l'espace.

• Le vecteur \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\) est normal au plan \((ABC)\).

• L'ensemble des points \(M(x; y; z)\) de l'espace tels que \(\overrightarrow{AM} \cdot (\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}) = 0\) est le plan \((ABC)\)

Exemple

Soit \(A(1; 1; 0)\), \(B(2; 2; 3)\) et \(C(3; 3; 1)\) trois points de l'espace.

Application

Soit A(-4; -3; -2), B(-1; 0; 1) et C(2; 3; 4) trois points de l'espace.

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\). En déduire que les points A, B et C ne sont pas alignés.

2. Déterminer une équation cartésienne du plan \((ABC)\).

3. Calculer la distance du point M(1; 0; 4) au plan \((ABC)\).

Propriété

Soit \((D)\) une droite passant par le point A de vecteur directeur \(\vec{u}\) et M un point de l'espace. On a :

\(d(M, (D)) = \frac{||\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}||}{||\vec{u}||}\)

Exemple

Calculons la distance du point \(M(-1; 0; 1)\) à la droite \((D)\) définie par :

\((D) : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 - t \\ z = 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}\)

Application

1. Calculer la distance du point \(M(1; 0; 3)\) à la droite \((D)\) passant par le point \(A(0; -1; 3)\) et \(B(2; 4; 0)\)

2. Calculer la distance du point \(M(1; 0; 3)\) à la droite \((\Delta)\) de représentation paramétrique :

   \(\begin{cases} x = 3 + t \\ y = -1 - t \\ z = -3 + 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}\)

Propriété

Soit \((P)\) et \((P')\) deux plans sécants suivant une droite \((D)\) dans l'espace orienté. Si \(\vec{n}\) est vecteur normal à un plan \((P)\) et \(\vec{n'}\) est vecteur normal à un plan \((P')\), alors \(\vec{n} \wedge \vec{n'}\) est un vecteur directeur de la droite d'intersection \((D)\).

Application

Étudier l'intersection des plans \((P)\) et \((P')\) dans chacun des cas suivants :

1. \((P) : x - y + 2z + 3 = 0\) et \((P') : x + 2y + 2z - 1 = 0\)

2. \((P) : 3x - 4y + 5z + 7 = 0\) et \((P') : 2x - 3y - z - 4 = 0\)