Fonctions primitives

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si et seulement si :

• $F$ est dérivable sur $I$.
• Pour tout $x \in I$, $F'(x) = f(x)$.

Notation: $\forall x \in I, F'(x) = f(x)$

Exemple 1:

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 4x + 2$.

Une fonction primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $F$ définie par $F(x) = 2x^2 + 2x$.

Vérification: $F'(x) = 4x + 2 = f(x)$.

Exemple 2:

Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = \cos x$.

Une fonction primitive de $f$ sur $\mathbb{R}$ est $F$ définie par $F(x) = \sin x$.

Vérification: $F'(x) = \cos x = f(x)$.

Propriété 1 (Existence):

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet des primitives sur $I$.

Propriété 2 (Forme générale):

Soit $F$ une primitive d'une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$.

Toute fonction primitive $G$ de $f$ sur $I$ est de la forme :

$$G(x) = F(x) + c \quad ; \quad c \in \mathbb{R}$$

Exemple:

Les fonctions primitives de la fonction $f(x) = 4x + 2$ sur $\mathbb{R}$ sont de la forme :

$$F(x) = 2x^2 + 2x + c \quad ; \quad c \in \mathbb{R}$$

Propriété:

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$.

Pour tout $x_0 \in I$ et tout $y_0 \in \mathbb{R}$, il existe une unique fonction primitive $G$ de $f$ qui vérifie la condition :

$$G(x_0) = y_0$$

Exemple:

Déterminer la fonction primitive de $f(x) = x^3 - 2x + 3$ qui prend la valeur $0$ en $-1$.

1. Forme générale des primitives:

Les primitives de $f$ sont de la forme :

$$F(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + 3x + c \quad ; \quad c \in \mathbb{R}$$

2. Détermination de la constante $c$:

On impose la condition $F(-1) = 0$ :

$$F(-1) = 0 \iff \frac{(-1)^4}{4} - (-1)^2 + 3(-1) + c = 0$$ $$\iff \frac{1}{4} - 1 - 3 + c = 0$$ $$\iff \frac{1}{4} - 4 + c = 0$$ $$\iff c = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$

Conclusion:

La fonction primitive de $f(x) = x^3 - 2x + 3$ qui prend la valeur $0$ en $-1$ est :

$$G(x) = \frac{x^4}{4} - x^2 + 3x + \frac{15}{4}$$

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$, admettant respectivement pour primitives $F$ et $G$ sur $I$.

• Somme: $F + G$ est une primitive de $f + g$ sur $I$.
• Produit par un réel: Pour tout $\alpha \in \mathbb{R}$, $\alpha F$ est une primitive de $\alpha f$ sur $I$.

En résumé:

$$\int (\alpha f(x) + \beta g(x)) dx = \alpha \int f(x) dx + \beta \int g(x) dx$$

Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = 3x$ et $g(x) = \cos x$.

Leurs primitives respectives sont :

• $F(x) = \frac{3}{2}x^2 + c \quad ; \quad c \in \mathbb{R}$
• $G(x) = \sin x + c' \quad ; \quad c' \in \mathbb{R}$

Une primitive de $h(x) = f(x) + g(x) = 3x + \cos x$ est :

$$H(x) = \frac{3}{2}x^2 + \sin x + K \quad ; \quad K \in \mathbb{R}$$

Fonction $f(x)$	Primitive $F(x)$	Intervalle $I$
$f(x) = 0$	$F(x) = c$	$\mathbb{R}$
$f(x) = a$ ($a \in \mathbb{R}$)	$F(x) = ax + c$	$\mathbb{R}$
$f(x) = x$	$F(x) = \frac{1}{2}x^2 + c$	$\mathbb{R}$
$f(x) = x^n$ ($n \in \mathbb{Z}, n \neq -1$)	$F(x) = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + c$	$\mathbb{R}$ ou $\mathbb{R}^*$
$f(x) = \frac{1}{x}$	$F(x) = \ln|x| + c$	$\mathbb{R}^*$
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$	$F(x) = 2\sqrt{x} + c$	$]0, +\infty[$
$f(x) = \frac{1}{x^2}$	$F(x) = -\frac{1}{x} + c$	$\mathbb{R}^*$
$f(x) = \sin x$	$F(x) = -\cos x + c$	$\mathbb{R}$
$f(x) = \cos x$	$F(x) = \sin x + c$	$\mathbb{R}$
$f(x) = 1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$	$F(x) = \tan x + c$	$\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi\}$
$f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$F(x) = \arcsin x + c$	$]-1, 1[$
$f(x) = \frac{1}{1+x^2}$	$F(x) = \arctan x + c$	$\mathbb{R}$

Soit $u$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.

Fonction $f(x)$	Primitive $F(x)$	Condition
$u'(x) \cdot [u(x)]^n$	$\frac{1}{n+1}[u(x)]^{n+1} + c$	$n \in \mathbb{Z}, n \neq -1$
$\frac{u'(x)}{u(x)}$	$\ln|u(x)| + c$	$u(x) \neq 0$
$\frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}$	$2\sqrt{u(x)} + c$	$u(x) > 0$
$u'(x) \cdot \sin(u(x))$	$-\cos(u(x)) + c$	-
$u'(x) \cdot \cos(u(x))$	$\sin(u(x)) + c$	-
$\frac{u'(x)}{\cos^2(u(x))}$	$\tan(u(x)) + c$	$\cos(u(x)) \neq 0$
$u'(x) \cdot e^{u(x)}$	$e^{u(x)} + c$	-

Exemple 1: Déterminer une primitive de $f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$.

On pose $u(x) = x^2 + 1$, alors $u'(x) = 2x$.

On reconnaît la forme $\frac{u'}{u}$.

Une primitive est :

$$F(x) = \ln|x^2 + 1| + c = \ln(x^2 + 1) + c \quad (\text{car } x^2+1 > 0)$$

Exemple 2: Déterminer une primitive de $f(x) = x \sqrt{x^2 + 1}$ sur $\mathbb{R}$.

On pose $u(x) = x^2 + 1$, alors $u'(x) = 2x$.

On a $f(x) = \frac{1}{2} \cdot 2x \cdot \sqrt{x^2 + 1} = \frac{1}{2} u'(x) \sqrt{u(x)}$.

Une primitive est :

$$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} (x^2 + 1)^{\frac{3}{2}} + c = \frac{1}{3} (x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1} + c$$

• Une primitive $F$ d'une fonction $f$ vérifie $F' = f$.
• Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
• Si $F$ est une primitive de $f$, toutes les autres sont de la forme $F + c$.
• Il existe une unique primitive vérifiant une condition initiale $F(x_0) = y_0$.
• La linéarité s'applique aux primitives : $\int (\alpha f + \beta g) = \alpha \int f + \beta \int g$.
• Maîtriser le tableau des primitives usuelles et composées est essentiel pour le calcul intégral.