Dérivation et étude de fonctions
I. DÉRIVABILITÉ D'UNE FONCTION EN UN POINT
A. Dérivabilité - Définitions
DÉFINITION :
Soit une fonction $f$ telle que son domaine de définition contient un intervalle ouvert $I$ et $x_0 \in I$.
• $f$ est dérivable au point $x_0$ si et seulement si :
• $f$ est dérivable à droite de $x_0$ si :
Soit une fonction $f$ telle que son domaine de définition contient un intervalle ouvert $I$ et $x_0 \in I$.
• $f$ est dérivable au point $x_0$ si et seulement si :
$$\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \ell \in \mathbb{R}$$
ou encore
$$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \ell \in \mathbb{R}$$
$\ell = f'(x_0)$ s'appelle le nombre dérivé de $f$ en $x_0$.• $f$ est dérivable à droite de $x_0$ si :
$$f'_d(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \in \mathbb{R}$$
• $f$ est dérivable à gauche de $x_0$ si :
$$f'_g(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \in \mathbb{R}$$
PROPRIÉTÉ :
$f$ est dérivable au point $x_0$ $\Leftrightarrow$ $f$ est dérivable à droite et à gauche et $f'_d(x_0) = f'_g(x_0)$.
$f$ est dérivable au point $x_0$ $\Leftrightarrow$ $f$ est dérivable à droite et à gauche et $f'_d(x_0) = f'_g(x_0)$.
B. Interprétation Géométrique
INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DU NOMBRE DÉRIVÉ $f'(x_0)$ :
• $f$ est une fonction dérivable au point $x_0$.
• $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
Le nombre dérivé $f'(x_0)$ est le coefficient directeur de la droite tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ de $f$ au point $A(x_0, f(x_0))$.
Équation cartésienne de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ de $f$ au point $A(x_0, f(x_0))$ est :
• $f$ est une fonction dérivable au point $x_0$.
• $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
Le nombre dérivé $f'(x_0)$ est le coefficient directeur de la droite tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ de $f$ au point $A(x_0, f(x_0))$.
Équation cartésienne de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ de $f$ au point $A(x_0, f(x_0))$ est :
$$(T): y = (x - x_0)f'(x_0) + f(x_0)$$
Si $f'(x_0) = 0$ alors la tangente est parallèle à l'axe des abscisses.
EXEMPLE :
Trouver l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ de $f$ au point $x_0 = 1$ avec $f(x) = 2x^2$.
Solution :
L'équation est $(T): y = (x - 1)f'(1) + f(1)$ ou $(T): y = (x - 1) \times 4 + 2$.
D'où le coefficient directeur est $m = 4$ et vecteur directeur est : $\vec{u}(1, 4) = \vec{i} + 4\vec{j}$.
Trouver l'équation de la tangente $(T)$ à la courbe $(C_f)$ de $f$ au point $x_0 = 1$ avec $f(x) = 2x^2$.
Solution :
L'équation est $(T): y = (x - 1)f'(1) + f(1)$ ou $(T): y = (x - 1) \times 4 + 2$.
D'où le coefficient directeur est $m = 4$ et vecteur directeur est : $\vec{u}(1, 4) = \vec{i} + 4\vec{j}$.
C. Interprétation des nombres dérivés $f'_d(x_0)$ et $f'_g(x_0)$
DEMI-TANGENTES :
• Si $f$ est dérivable à droite de $x_0$, on a une demi-tangente à droite de $x_0$ de coefficient directeur $f'_d(x_0)$.
Équation de la demi-tangente à droite de $x_0$ :
Équation de la demi-tangente à gauche de $x_0$ :
• Si $f$ est dérivable à droite de $x_0$, on a une demi-tangente à droite de $x_0$ de coefficient directeur $f'_d(x_0)$.
Équation de la demi-tangente à droite de $x_0$ :
$$(T_d): y = (x - x_0)f'_d(x_0) + f(x_0) \quad \text{avec} \quad x \geq x_0$$
• Si $f$ est dérivable à gauche de $x_0$, on a une demi-tangente à gauche de $x_0$ de coefficient directeur $f'_g(x_0)$.Équation de la demi-tangente à gauche de $x_0$ :
$$(T_g): y = (x - x_0)f'_g(x_0) + f(x_0) \quad \text{avec} \quad x \leq x_0$$
• Si $f'_d(x_0) \neq f'_g(x_0)$, alors $f$ n'est pas dérivable en $x_0$ et le point $A(x_0, f(x_0))$ est appelé point anguleux.
EXEMPLE :
Soit $f(x) = \begin{cases} 3\sqrt{x+2} + 3 & ; x \geq -2 \\ (x+3)^2 + 4 & ; x < -2 \end{cases}$
On a $f'_d(-2) = 3$ et $f'_g(-2) = -2$.
Le point $A(-2, 3)$ est un point anguleux.
Soit $f(x) = \begin{cases} 3\sqrt{x+2} + 3 & ; x \geq -2 \\ (x+3)^2 + 4 & ; x < -2 \end{cases}$
On a $f'_d(-2) = 3$ et $f'_g(-2) = -2$.
Le point $A(-2, 3)$ est un point anguleux.
REMARQUE :
• Si $f$ n'est pas dérivable à droite (c.à.d. $\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \pm\infty$), dans ce cas on a une demi-tangente à droite de $x_0$ parallèle à l'axe des ordonnées.
• Si $f$ n'est pas dérivable à gauche (c.à.d. $\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \pm\infty$), dans ce cas on a une demi-tangente à gauche de $x_0$ parallèle à l'axe des ordonnées.
• Si $f$ n'est pas dérivable à droite (c.à.d. $\lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \pm\infty$), dans ce cas on a une demi-tangente à droite de $x_0$ parallèle à l'axe des ordonnées.
• Si $f$ n'est pas dérivable à gauche (c.à.d. $\lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \pm\infty$), dans ce cas on a une demi-tangente à gauche de $x_0$ parallèle à l'axe des ordonnées.
II. DÉRIVABILITÉ SUR UN INTERVALLE
A. Définition
DÉFINITION :
• $f$ est une fonction dérivable sur $I = ]a; b[$ si et seulement si $f$ est dérivable en tout point $x_0$ de $I$.
• $f$ est une fonction dérivable sur $[a; b[$ si et seulement si $f$ est dérivable sur $]a; b[$ et $f$ est dérivable à droite du point $a$.
• $f$ est dérivable sur $]a, b]$ si $f$ est dérivable sur $]a; b[$ et $f$ est dérivable à gauche de $b$.
• $f$ est dérivable sur $[a, b]$ si $f$ est dérivable sur $]a; b[$ et $f$ est dérivable à droite de $a$ et à gauche de $b$.
• $f$ est une fonction dérivable sur $I = ]a; b[$ si et seulement si $f$ est dérivable en tout point $x_0$ de $I$.
• $f$ est une fonction dérivable sur $[a; b[$ si et seulement si $f$ est dérivable sur $]a; b[$ et $f$ est dérivable à droite du point $a$.
• $f$ est dérivable sur $]a, b]$ si $f$ est dérivable sur $]a; b[$ et $f$ est dérivable à gauche de $b$.
• $f$ est dérivable sur $[a, b]$ si $f$ est dérivable sur $]a; b[$ et $f$ est dérivable à droite de $a$ et à gauche de $b$.
B. Fonction Dérivée
DÉFINITION :
$f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
• La fonction $g$ qui relie chaque élément $x$ de $I$ par le nombre $f'(x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$ et on note : $g = f'$.
Ou encore :
• En général : la dérivée d'ordre $n$ de $f$ est la fonction dérivée de $f^{(n-1)}$ (la dérivée de la fonction dérivée d'ordre $n-1$) et on note :
$f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
• La fonction $g$ qui relie chaque élément $x$ de $I$ par le nombre $f'(x)$ s'appelle la fonction dérivée de $f$ et on note : $g = f'$.
Ou encore :
$$g: I \to \mathbb{R}$$
$$x \mapsto g(x) = f'(x)$$
• La fonction dérivée de $f'$ sur $I$ s'appelle la fonction dérivée seconde (dérivée d'ordre 2) on note $f''$ ou $f^{(2)}$.• En général : la dérivée d'ordre $n$ de $f$ est la fonction dérivée de $f^{(n-1)}$ (la dérivée de la fonction dérivée d'ordre $n-1$) et on note :
$$f^{(n)}(x) = (f^{(n-1)})'(x)$$
III. OPÉRATIONS SUR LES FONCTIONS DÉRIVABLES
PROPRIÉTÉ :
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $I$. On a :
Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur $I$. On a :
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| $f + g$ | $(f + g)'(x) = f'(x) + g'(x)$ |
| $\alpha f$ ($\alpha \in \mathbb{R}$) | $(\alpha f)'(x) = \alpha f'(x)$ |
| $f \times g$ | $(f \times g)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ |
| $\frac{1}{g}$ ($g(x) \neq 0$) | $\left(\frac{1}{g}\right)'(x) = -\frac{g'(x)}{g^2(x)}$ |
| $\frac{f}{g}$ ($g(x) \neq 0$) | $\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ |
IV. DÉRIVABILITÉ DES FONCTIONS USUELLES
PROPRIÉTÉ :
• Toute fonction polynomiale est dérivable sur son ensemble de définition $D_f = \mathbb{R}$ et $(ax^n)' = nax^{n-1}$ avec $n \in \mathbb{N}^*$.
• Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition $D_f$.
• $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :
✓ La fonction $f^n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ est dérivable sur $I$ et on a : $(f^n)'(x) = nf'(x)f^{n-1}(x)$.
✓ Si pour tout $x$ de $I$, $f(x) \neq 0$, on a la fonction $f^p$ avec $p \in \mathbb{Z}^*$ est dérivable sur $I$ et $(f^p)'(x) = pf'(x)f^{p-1}(x)$.
• La fonction $f(x) = \cos(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(x) = (\cos x)' = -\sin(x)$.
• La fonction $f(x) = \sin(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(x) = (\sin x)' = \cos(x)$.
• La fonction $f(x) = \tan(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi; k \in \mathbb{Z}\}$ avec :
• Toute fonction polynomiale est dérivable sur son ensemble de définition $D_f = \mathbb{R}$ et $(ax^n)' = nax^{n-1}$ avec $n \in \mathbb{N}^*$.
• Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition $D_f$.
• $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ :
✓ La fonction $f^n$ avec $n \in \mathbb{N}^*$ est dérivable sur $I$ et on a : $(f^n)'(x) = nf'(x)f^{n-1}(x)$.
✓ Si pour tout $x$ de $I$, $f(x) \neq 0$, on a la fonction $f^p$ avec $p \in \mathbb{Z}^*$ est dérivable sur $I$ et $(f^p)'(x) = pf'(x)f^{p-1}(x)$.
• La fonction $f(x) = \cos(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(x) = (\cos x)' = -\sin(x)$.
• La fonction $f(x) = \sin(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ avec $f'(x) = (\sin x)' = \cos(x)$.
• La fonction $f(x) = \tan(x)$ est dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi; k \in \mathbb{Z}\}$ avec :
$$(\tan x)' = 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)}$$
V. DÉRIVÉE D'UNE FONCTION COMPOSÉE
THÉORÈME :
$f$ dérivable en $x_0$ et $g$ est dérivable en $f(x_0)$, alors la fonction $g \circ f$ est dérivable en $x_0$ et on a :
$f$ dérivable en $x_0$ et $g$ est dérivable en $f(x_0)$, alors la fonction $g \circ f$ est dérivable en $x_0$ et on a :
$$(g \circ f)'(x_0) = f'(x_0) \times g'(f(x_0))$$
APPLICATIONS :
• $(\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ ; $f'(x) \in D$ et $f(x) > 0$.
• $(\sin(ax + b))' = a \times \cos(ax + b)$ ; sur $\mathbb{R}$.
• $(\cos(ax + b))' = -a \times \sin(ax + b)$ ; sur $\mathbb{R}$.
• $(\tan(ax + b))' = a[1 + \tan^2(ax + b)] = \frac{a}{\cos^2(ax + b)}$ avec $ax + b \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ ; $k \in \mathbb{Z}$.
• $(\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ ; $f'(x) \in D$ et $f(x) > 0$.
• $(\sin(ax + b))' = a \times \cos(ax + b)$ ; sur $\mathbb{R}$.
• $(\cos(ax + b))' = -a \times \sin(ax + b)$ ; sur $\mathbb{R}$.
• $(\tan(ax + b))' = a[1 + \tan^2(ax + b)] = \frac{a}{\cos^2(ax + b)}$ avec $ax + b \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ ; $k \in \mathbb{Z}$.
VI. DÉRIVÉE DE LA FONCTION RÉCIPROQUE
THÉORÈME :
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur $I$ et $f(I) = J$, $f^{-1}$ est la fonction réciproque de la fonction $f$.
Si $f$ est dérivable en $x_0$ ($x_0 \in I$ ; $f(x_0) = y_0$ ; $y_0 \in J$) et $f'(x_0) \neq 0$, alors la fonction $f^{-1}$ est dérivable en $y_0$ et :
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur $I$ et $f(I) = J$, $f^{-1}$ est la fonction réciproque de la fonction $f$.
Si $f$ est dérivable en $x_0$ ($x_0 \in I$ ; $f(x_0) = y_0$ ; $y_0 \in J$) et $f'(x_0) \neq 0$, alors la fonction $f^{-1}$ est dérivable en $y_0$ et :
$$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(x_0)} = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$$
ou encore :
$$(f^{-1})'(y_0) = \frac{1}{f'(f^{-1}(y_0))}$$
APPLICATIONS :
• $n \in \mathbb{N}^*$ et $(x^n)' = nx^{n-1}$ ; $n \in \mathbb{N}^*$.
• $(\sqrt[n]{f(x)})' = \frac{1}{n} \times (f(x))^{\frac{1}{n}-1} \times f'(x)$ ; $n \in \mathbb{N}^*$.
• $(x^r)' = rx^{r-1}$ ; $r \in \mathbb{R}^*$.
• $([f(x)]^r)' = r \times [f(x)]^{r-1} \times f'(x)$ ; $r \in \mathbb{R}^*$.
• $n \in \mathbb{N}^*$ et $(x^n)' = nx^{n-1}$ ; $n \in \mathbb{N}^*$.
• $(\sqrt[n]{f(x)})' = \frac{1}{n} \times (f(x))^{\frac{1}{n}-1} \times f'(x)$ ; $n \in \mathbb{N}^*$.
• $(x^r)' = rx^{r-1}$ ; $r \in \mathbb{R}^*$.
• $([f(x)]^r)' = r \times [f(x)]^{r-1} \times f'(x)$ ; $r \in \mathbb{R}^*$.
VII. TABLEAU DES FONCTIONS DÉRIVÉES USUELLES
| Fonction $f(x)$ | Domaine $D_f$ | Fonction dérivée $f'(x)$ | Domaine $D_{f'}$ |
|---|---|---|---|
| $f(x) = a$ | $\mathbb{R}$ | $f'(x) = 0$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x) = x$ | $\mathbb{R}$ | $f'(x) = 1$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x) = x^n$ ; $n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}$ | $\mathbb{R}$ | $f'(x) = nx^{n-1}$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x) = x^n$ ; $n \in \mathbb{Z}^* \setminus \{1\}$ | $\mathbb{R}^*$ | $f'(x) = nx^{n-1}$ | $\mathbb{R}^*$ |
| $f(x) = \sqrt{x}$ | $[0, +\infty[$ | $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ | $]0, +\infty[$ |
| $f(x) = \frac{1}{x}$ | $\mathbb{R}^*$ | $f'(x) = -\frac{1}{x^2}$ | $\mathbb{R}^*$ |
| $f(x) = \sin x$ | $\mathbb{R}$ | $f'(x) = \cos x$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x) = \cos x$ | $\mathbb{R}$ | $f'(x) = -\sin x$ | $\mathbb{R}$ |
| $f(x) = \tan x$ | $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi\}$ | $f'(x) = 1 + \tan^2 x$ | $\mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + k\pi\}$ |
| $f(x) = \sqrt{g(x)}$ | $\{x \in D_g / g(x) \geq 0\}$ | $f'(x) = \frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ | $\{x \in D_g / g(x) > 0\}$ |
VIII. APPLICATIONS DE LA FONCTION DÉRIVÉE PREMIÈRE
A. Monotonie et Signe de la Dérivée
PROPRIÉTÉ :
$f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
• Si la fonction dérivée $f'$ est strictement positive sur $I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.
(même si $f'$ s'annule en un nombre fini de points, cela ne change pas la monotonie de $f$).
• Si la fonction dérivée $f'$ est strictement négative sur $I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.
(même si $f'$ s'annule en un nombre fini de points, cela ne change pas la monotonie de $f$).
• Si la fonction $f'$ est nulle sur $I$ (sur $I$ tout entier), alors $f$ est constante.
$f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
• Si la fonction dérivée $f'$ est strictement positive sur $I$, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.
(même si $f'$ s'annule en un nombre fini de points, cela ne change pas la monotonie de $f$).
• Si la fonction dérivée $f'$ est strictement négative sur $I$, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.
(même si $f'$ s'annule en un nombre fini de points, cela ne change pas la monotonie de $f$).
• Si la fonction $f'$ est nulle sur $I$ (sur $I$ tout entier), alors $f$ est constante.
EXEMPLE :
Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ avec $f(x) = (2x + 4)^2$.
Solution :
• On calcule $f'$ :
$f'(x) = [(2x + 4)^2]' = 2(2x + 4)(2x + 4)' = 2(2x + 4) \times 2 = 8x + 16$
• Signe de $f'$ :
$f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow 8x + 16 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2$
Donc : $f'$ est positive sur $[-2, +\infty[$ et négative sur $]-\infty, -2]$.
• Tableau de variation de $f$ :
Étudier les variations de $f$ sur $\mathbb{R}$ avec $f(x) = (2x + 4)^2$.
Solution :
• On calcule $f'$ :
$f'(x) = [(2x + 4)^2]' = 2(2x + 4)(2x + 4)' = 2(2x + 4) \times 2 = 8x + 16$
• Signe de $f'$ :
$f'(x) \geq 0 \Leftrightarrow 8x + 16 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2$
Donc : $f'$ est positive sur $[-2, +\infty[$ et négative sur $]-\infty, -2]$.
• Tableau de variation de $f$ :
$$\begin{array}{c|ccc}
x & -\infty & -2 & +\infty \\
\hline
f'(x) & & - \quad 0 \quad + & \\
\hline
f(x) & +\infty & \searrow & \nearrow & +\infty \\
& & f(-2) = 0 & &
\end{array}$$
B. Extremums d'une Fonction Dérivable
PROPRIÉTÉ :
$f$ est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$, $a$ est un élément de $I$.
Si $f$ est dérivable au point $a$ et admet un extremum au point $a$, alors $f'(a) = 0$.
REMARQUE : Si $f'(a) = 0$, cela ne signifie pas que $f(a)$ est un extremum de la fonction $f$.
$f$ est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$, $a$ est un élément de $I$.
Si $f$ est dérivable au point $a$ et admet un extremum au point $a$, alors $f'(a) = 0$.
REMARQUE : Si $f'(a) = 0$, cela ne signifie pas que $f(a)$ est un extremum de la fonction $f$.
EXEMPLE :
$f(x) = 2x^3$, on a $f'(x) = 6x^2$, d'où $f'(0) = 0$, mais $f(0)$ n'est pas un extremum de la fonction $f$.
$f(x) = 2x^3$, on a $f'(x) = 6x^2$, d'où $f'(0) = 0$, mais $f(0)$ n'est pas un extremum de la fonction $f$.
PROPRIÉTÉ :
$f$ est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$, $a$ est un élément de $I$.
Si $f'$ s'annule au point $a$ et $f'$ change de signe au voisinage de $a$, alors $f(a)$ est un extremum de la fonction $f$.
$f$ est une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$, $a$ est un élément de $I$.
Si $f'$ s'annule au point $a$ et $f'$ change de signe au voisinage de $a$, alors $f(a)$ est un extremum de la fonction $f$.
IX. APPLICATIONS DE LA FONCTION DÉRIVÉE SECONDE
A. Concavité
PROPRIÉTÉ ET DÉFINITION :
$f$ est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.
• $\forall x \in I$, $f''(x) > 0$ (la fonction dérivée seconde est positive), alors :
La courbe $(C_f)$ de $f$ est située au-dessus des tangentes des points $x$ tels que $x \in I$.
Dans ce cas, on dit que la courbe $(C_f)$ de $f$ est convexe (ou sa concavité est dans le sens des ordonnées positives).
• $\forall x \in I$, $f''(x) < 0$ (la fonction dérivée seconde est négative), alors :
La courbe $(C_f)$ de $f$ est située au-dessous des tangentes des points $x \in I$.
Dans ce cas, on dit que la courbe $(C_f)$ de $f$ est concave (ou sa concavité est dans le sens des ordonnées négatives).
$f$ est une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.
• $\forall x \in I$, $f''(x) > 0$ (la fonction dérivée seconde est positive), alors :
La courbe $(C_f)$ de $f$ est située au-dessus des tangentes des points $x$ tels que $x \in I$.
Dans ce cas, on dit que la courbe $(C_f)$ de $f$ est convexe (ou sa concavité est dans le sens des ordonnées positives).
• $\forall x \in I$, $f''(x) < 0$ (la fonction dérivée seconde est négative), alors :
La courbe $(C_f)$ de $f$ est située au-dessous des tangentes des points $x \in I$.
Dans ce cas, on dit que la courbe $(C_f)$ de $f$ est concave (ou sa concavité est dans le sens des ordonnées négatives).
B. Points d'Inflexion
PROPRIÉTÉ ET DÉFINITION :
$f$ est une fonction dérivable deux fois sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0 \in I$.
Si la fonction dérivée seconde $f''$ s'annule en $x_0$ et $f''$ change de signe au voisinage de $x_0$, alors le point d'abscisse $A(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion de la courbe $(C_f)$ ; dans ce cas, la tangente au point $A(x_0, f(x_0))$ coupe (ou traverse) la courbe.
$f$ est une fonction dérivable deux fois sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0 \in I$.
Si la fonction dérivée seconde $f''$ s'annule en $x_0$ et $f''$ change de signe au voisinage de $x_0$, alors le point d'abscisse $A(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion de la courbe $(C_f)$ ; dans ce cas, la tangente au point $A(x_0, f(x_0))$ coupe (ou traverse) la courbe.
X. CENTRE DE SYMÉTRIE - AXE DE SYMÉTRIE
A. Centre de Symétrie
PROPRIÉTÉ :
Soit $(C_f)$ la courbe représentative d'une fonction définie sur $D_f$ dans un plan $(P)$ rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
Le point $I(a, b)$ est centre de symétrie de la courbe $(C_f)$ si et seulement si :
Soit $(C_f)$ la courbe représentative d'une fonction définie sur $D_f$ dans un plan $(P)$ rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
Le point $I(a, b)$ est centre de symétrie de la courbe $(C_f)$ si et seulement si :
$$\begin{cases}
\forall x \in D_f; \ 2a - x \in D_f \\
\forall x \in D_f; \ f(2a - x) + f(x) = 2b
\end{cases}$$
B. Axe de Symétrie
PROPRIÉTÉ :
Soit $(C_f)$ la courbe représentative d'une fonction définie sur $D_f$ dans un plan $(P)$ rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
La droite d'équation $D: x = a$ est axe de symétrie de la courbe $(C_f)$ si et seulement si :
Soit $(C_f)$ la courbe représentative d'une fonction définie sur $D_f$ dans un plan $(P)$ rapporté à un repère orthonormé $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
La droite d'équation $D: x = a$ est axe de symétrie de la courbe $(C_f)$ si et seulement si :
$$\begin{cases}
\forall x \in D_f; \ 2a - x \in D_f \\
\forall x \in D_f; \ f(2a - x) = f(x)
\end{cases}$$
XI. BRANCHES INFINIES
A. Définition
DÉFINITION :
Soit $(C_f)$ la courbe représentative d'une fonction définie sur $D_f$ dans un plan $(P)$ rapporté à un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
Si au moins une des coordonnées d'un point $M$ de la courbe $(C_f)$ tend vers l'infini, on dit que la courbe $(C_f)$ admet une branche infinie.
Soit $(C_f)$ la courbe représentative d'une fonction définie sur $D_f$ dans un plan $(P)$ rapporté à un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
Si au moins une des coordonnées d'un point $M$ de la courbe $(C_f)$ tend vers l'infini, on dit que la courbe $(C_f)$ admet une branche infinie.
B. Asymptote Verticale
DÉFINITION :
Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ et $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$, alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à $(C_f)$ (à droite de $a$ ou à gauche de $a$).
Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \pm\infty$ et $\lim_{x \to a^-} f(x) = \pm\infty$, alors la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à $(C_f)$ (à droite de $a$ ou à gauche de $a$).
C. Asymptote Horizontale
DÉFINITION :
Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ (ou $\lim_{x \to -\infty} f(x) = c$), alors la droite d'équation $y = b$ (ou $y = c$) est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ (ou $-\infty$).
Si $\lim_{x \to +\infty} f(x) = b$ (ou $\lim_{x \to -\infty} f(x) = c$), alors la droite d'équation $y = b$ (ou $y = c$) est une asymptote horizontale à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ (ou $-\infty$).
D. Asymptote Oblique
DÉFINITION :
Soit $(C_f)$ la courbe représentative d'une fonction définie sur $D_f$ tel que $[a, +\infty[ \subset D_f$ ou $]-\infty, a] \subset D_f$.
Si $(a \in \mathbb{R}^*$, $a \neq 0$ et $a \neq \pm\infty)$ et $b \in \mathbb{R}$, et si :
Soit $(C_f)$ la courbe représentative d'une fonction définie sur $D_f$ tel que $[a, +\infty[ \subset D_f$ ou $]-\infty, a] \subset D_f$.
Si $(a \in \mathbb{R}^*$, $a \neq 0$ et $a \neq \pm\infty)$ et $b \in \mathbb{R}$, et si :
$$\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$$
alors la droite d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$.
MÉTHODE DE DÉTERMINATION :
Si la droite d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$, pour déterminer $a$ et $b$ on calcule :
• Pour déterminer $a$ : $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a \in \mathbb{R}^*$ (c.à.d. $a \neq 0$ et $a \neq \pm\infty$).
• Pour déterminer $b$ : $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax] = b \in \mathbb{R}$ (c.à.d. $b \neq \pm\infty$).
Si la droite d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $\pm\infty$, pour déterminer $a$ et $b$ on calcule :
• Pour déterminer $a$ : $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = a \in \mathbb{R}^*$ (c.à.d. $a \neq 0$ et $a \neq \pm\infty$).
• Pour déterminer $b$ : $\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - ax] = b \in \mathbb{R}$ (c.à.d. $b \neq \pm\infty$).
E. Branches Paraboliques (Cas Particuliers)
CAS PARTICULIERS :
1er cas particulier : $a = \pm\infty$
On dit que $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction (B.P.D) l'axe des ordonnées.
Exemple : $f(x) = x^3$
2ème cas particulier : $a = 0$
On dit que $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction (B.P.D) l'axe des abscisses.
Exemple : $f(x) = \sqrt{x}$
3ème cas particulier : $a \in \mathbb{R}^*$ et $b = \pm\infty$
On dit que $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction (B.P.D) la droite d'équation $y = ax$ au voisinage de $\pm\infty$.
Exemple : $f(x) = x + \sqrt{x - 3}$
1er cas particulier : $a = \pm\infty$
On dit que $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction (B.P.D) l'axe des ordonnées.
Exemple : $f(x) = x^3$
2ème cas particulier : $a = 0$
On dit que $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction (B.P.D) l'axe des abscisses.
Exemple : $f(x) = \sqrt{x}$
3ème cas particulier : $a \in \mathbb{R}^*$ et $b = \pm\infty$
On dit que $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction (B.P.D) la droite d'équation $y = ax$ au voisinage de $\pm\infty$.
Exemple : $f(x) = x + \sqrt{x - 3}$
XII. APPROXIMATION AFFINE
DÉFINITION :
$f$ est une fonction dérivable au point $a$.
• La fonction $u$ telle que : $u: x \mapsto f(a) + (x - a)f'(a)$ (ou encore $v: h \mapsto f(a) + hf'(a)$ avec $x - a = h$) est appelée la fonction affine tangente à la fonction $f$ au point $a$.
• Quand $x$ est très proche de $a$, le nombre $f(a) + (x - a)f'(a)$ est une approximation affine de $f(x)$ au voisinage de $a$, on écrit :
$f$ est une fonction dérivable au point $a$.
• La fonction $u$ telle que : $u: x \mapsto f(a) + (x - a)f'(a)$ (ou encore $v: h \mapsto f(a) + hf'(a)$ avec $x - a = h$) est appelée la fonction affine tangente à la fonction $f$ au point $a$.
• Quand $x$ est très proche de $a$, le nombre $f(a) + (x - a)f'(a)$ est une approximation affine de $f(x)$ au voisinage de $a$, on écrit :
$$f(x) \approx f(a) + (x - a)f'(a)$$
• Ou encore le nombre $f(a) + hf'(a)$ est approximation affine de $f(a + h)$ au voisinage de zéro, on écrit :
$$f(a + h) \approx f(a) + hf'(a) \quad \text{avec} \quad x - a = h
EXEMPLE 1 :
Trouver une approximation affine du nombre $f(1 + h)$ avec $f(x) = x^2$ et $a = 1$.
Correction :
$f$ est une fonction dérivable au point $1$ avec $f'(1) = 2$.
Approximation affine de $f(1 + h)$ est :
$f(1 + h) \approx f(1) + hf'(1) \approx 1 + 2h$.
Conclusion : $f(1 + h) = (1 + h)^2 \approx 1 + 2h$.
Application :
On prend $h = 0,001$, d'où : $f(1,001) = f(1 + 0,001) \approx 2 \times 0,001 + 1$.
Donc $f(1,001) \approx 1,002$.
On vérifie : $(1,001)^2 = 1,002001$, donc $1,002 \approx 1,002001$.
Trouver une approximation affine du nombre $f(1 + h)$ avec $f(x) = x^2$ et $a = 1$.
Correction :
$f$ est une fonction dérivable au point $1$ avec $f'(1) = 2$.
Approximation affine de $f(1 + h)$ est :
$f(1 + h) \approx f(1) + hf'(1) \approx 1 + 2h$.
Conclusion : $f(1 + h) = (1 + h)^2 \approx 1 + 2h$.
Application :
On prend $h = 0,001$, d'où : $f(1,001) = f(1 + 0,001) \approx 2 \times 0,001 + 1$.
Donc $f(1,001) \approx 1,002$.
On vérifie : $(1,001)^2 = 1,002001$, donc $1,002 \approx 1,002001$.
EXEMPLE 2 :
Trouver une approximation affine du nombre $\sqrt{9,002}$.
Correction :
On pose $f(x) = \sqrt{x}$, $a = 9$ et $h = 0,002$, d'où $\sqrt{9,002} = f(9 + 0,002)$.
On calcule le nombre dérivé de $f$ en $9$ :
$f'(9) = \lim_{h \to 0} \frac{f(9+h) - f(9)}{h} = \lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} = \lim_{x \to 9} \frac{1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{1}{6}$.
D'où : $f$ est dérivable au point $9$ et le nombre dérivé en $9$ est $f'(9) = \frac{1}{6}$.
On trouve une approximation affine du nombre $\sqrt{9,002}$ :
$f(9 + 0,002) \approx f(9) + f'(9) \times 0,002 = 3 + \frac{1}{6} \times 0,002 \approx 3,00033$.
La calculatrice donne : $\sqrt{9,002} \approx 3,00033315$, d'où la précision est $3 \times 10^{-8}$.
Trouver une approximation affine du nombre $\sqrt{9,002}$.
Correction :
On pose $f(x) = \sqrt{x}$, $a = 9$ et $h = 0,002$, d'où $\sqrt{9,002} = f(9 + 0,002)$.
On calcule le nombre dérivé de $f$ en $9$ :
$f'(9) = \lim_{h \to 0} \frac{f(9+h) - f(9)}{h} = \lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} = \lim_{x \to 9} \frac{1}{\sqrt{x} + 3} = \frac{1}{6}$.
D'où : $f$ est dérivable au point $9$ et le nombre dérivé en $9$ est $f'(9) = \frac{1}{6}$.
On trouve une approximation affine du nombre $\sqrt{9,002}$ :
$f(9 + 0,002) \approx f(9) + f'(9) \times 0,002 = 3 + \frac{1}{6} \times 0,002 \approx 3,00033$.
La calculatrice donne : $\sqrt{9,002} \approx 3,00033315$, d'où la précision est $3 \times 10^{-8}$.
APPROXIMATIONS USUELLES AU VOISINAGE DE 0 :
• Pour $f(x) = x^2$ et $a = 1$ : $(1 + h)^2 \approx 1 + 2h$
• Pour $f(x) = x^3$ et $a = 1$ : $(1 + h)^3 \approx 1 + 3h$
• Pour $f(x) = \sqrt{x}$ et $a = 1$ : $\sqrt{1 + h} \approx 1 + \frac{h}{2}$
• Pour $f(x) = \frac{1}{x}$ et $a = 1$ : $\frac{1}{1 + h} \approx 1 - h$
• Pour $f(x) = x^2$ et $a = 1$ : $(1 + h)^2 \approx 1 + 2h$
• Pour $f(x) = x^3$ et $a = 1$ : $(1 + h)^3 \approx 1 + 3h$
• Pour $f(x) = \sqrt{x}$ et $a = 1$ : $\sqrt{1 + h} \approx 1 + \frac{h}{2}$
• Pour $f(x) = \frac{1}{x}$ et $a = 1$ : $\frac{1}{1 + h} \approx 1 - h$